Question : Vous découpez un carré, le plus grand possible, dans un disque en carton de rayon \(20\ \text{cm}\).
Quelle est l’aire des chutes (parties perdues après le découpage) ?
Quelle fraction du disque entier représentent ces chutes ?
Comparez vos résultats avec ceux que vous obtiendriez en prenant un disque de rayon \(50\ \text{cm}\).
Résumé de l’exercice :
Correction de l’exercice :
Nous allons résoudre chaque partie de la question étape par étape.
Étape 1 : Identifier le diamètre du disque
Le rayon du disque est de \(20\ \text{cm}\). Le diamètre \(D\) est donc : \[ D = 2 \times \text{rayon} = 2 \times 20\ \text{cm} = 40\ \text{cm} \]
Étape 2 : Déterminer la longueur du côté du carré inscrit
Pour découper le plus grand carré possible dans le disque, le carré doit être inscrit dans le cercle. Dans ce cas, la diagonale du carré est égale au diamètre du cercle.
Soit \(c\) la longueur du côté du carré. La relation entre la diagonale \(d\) et le côté \(c\) d’un carré est donnée par : \[ d = c \times \sqrt{2} \] Sachant que \(d = D = 40\ \text{cm}\), on peut écrire : \[ c \times \sqrt{2} = 40\ \text{cm} \\ \Rightarrow c = \frac{40\ \text{cm}}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}\ \text{cm} \]
Étape 3 : Calculer l’aire du carré
L’aire \(A_{\text{carré}}\) du carré est : \[ A_{\text{carré}} = c^2 = (20\sqrt{2}\ \text{cm})^2 = 400 \times 2 = 800\ \text{cm}^2 \]
Étape 4 : Calculer l’aire du disque
L’aire \(A_{\text{disque}}\) du disque est : \[ A_{\text{disque}} = \pi r^2 = \pi \times (20\ \text{cm})^2 = 400\pi\ \text{cm}^2 \] \[ A_{\text{disque}} \approx 400 \times 3,1416 = 1256,64\ \text{cm}^2 \]
Étape 5 : Déterminer l’aire des chutes
Les chutes correspondent à la partie du disque qui n’est pas occupée par le carré. Donc : \[ A_{\text{chutes}} = A_{\text{disque}} - A_{\text{carré}} = 1256,64\ \text{cm}^2 - 800\ \text{cm}^2 = 456,64\ \text{cm}^2 \]
Réponse à la partie a) : \[ \boxed{456,64\ \text{cm}^2} \]
Nous voulons trouver la fraction \(\frac{A_{\text{chutes}}}{A_{\text{disque}}}\).
Utilisons les valeurs calculées précédemment : \[ \frac{A_{\text{chutes}}}{A_{\text{disque}}} = \frac{456,64}{1256,64} \approx 0,363 \]
Pour exprimer cette fraction en pourcentage : \[ 0,363 \times 100 \approx 36,3\% \]
Réponse à la partie b) : \[ \boxed{36,3\%} \]
Nous allons répéter les étapes précédentes pour un disque de rayon \(50\ \text{cm}\).
Étape 1 : Calculer le diamètre du nouveau disque \[ D' = 2 \times 50\ \text{cm} = 100\ \text{cm} \]
Étape 2 : Déterminer la longueur du côté du carré inscrit \[ c' = \frac{D'}{\sqrt{2}} = \frac{100\ \text{cm}}{\sqrt{2}} = 50\sqrt{2}\ \text{cm} \]
Étape 3 : Calculer l’aire du carré \[ A'_{\text{carré}} = (50\sqrt{2})^2 = 2500 \times 2 = 5000\ \text{cm}^2 \]
Étape 4 : Calculer l’aire du disque \[ A'_{\text{disque}} = \pi \times (50\ \text{cm})^2 = 2500\pi\ \text{cm}^2 \approx 2500 \times 3,1416 = 7854\ \text{cm}^2 \]
Étape 5 : Déterminer l’aire des chutes \[ A'_{\text{chutes}} = A'_{\text{disque}} - A'_{\text{carré}} = 7854\ \text{cm}^2 - 5000\ \text{cm}^2 = 2854\ \text{cm}^2 \]
Étape 6 : Calculer la fraction des chutes \[ \frac{A'_{\text{chutes}}}{A'_{\text{disque}}} = \frac{2854}{7854} \approx 0,363 \] \[ 0,363 \times 100 \approx 36,3\% \]
Interprétation :
On constate que, quel que soit le rayon du disque, la fraction des chutes reste la même, environ \(36,3\%\). Cela est dû au fait que les proportions se maintiennent quel que soit la taille du disque.
Réponse à la partie c) :
La fraction des chutes reste constante à environ \(36,3\%\) même en passant d’un disque de rayon \(20\ \text{cm}\) à un disque de rayon \(50\ \text{cm}\).
\[ \boxed{\text{La fraction des chutes reste } 36,3\% \text{ pour les deux disques}} \]
Résumé des résultats : - a) Aire des chutes : \(456,64\ \text{cm}^2\) - b) Fraction des chutes : \(36,3\%\) - c) La fraction des chutes reste \(36,3\%\) pour un disque de rayon \(50\ \text{cm}\)