Pliez une feuille de papier au format A4 de manière à superposer deux coins situés sur le même côté.
Quelle est l’aire de l’hexagone ainsi formé ?
Réponse : l’aire du polygone central est exactement 189 cm².
Nous allons montrer que, dans ce problème célèbre de pliage d’une feuille au format A4, l’aire (en cm²) du polygone central à six côtés obtenu ne dépend pas des « petites » dimensions de la feuille et est, en fait, exactement égale à 189 cm².
Pour comprendre la solution, voici la démarche complète qui permet d’arriver à ce résultat.
────────────────────────────── 1 – Disposition de la feuille et choix du pli
On part d’une feuille A4 aux dimensions standard (en cm) : 21 (largeur) × 29,7 (longueur). On raisonne en position « portrait » (la hauteur est 29,7 et la largeur 21).
L’énoncé demande de plier la feuille de telle sorte que deux coins se superposent alors qu’ils appartiennent à un même côté (c’est-à‐dire à l’un des côtés de la feuille). Il s’agit, dans cette construction classique, de ramener par pliage l’un des coins situés sur le côté long (ou sur le côté court) sur l’autre coin de ce même côté. Autrement dit, on choisit deux points (les extrémités d’un côté de la feuille) et on effectue le pli qui en fait coïncider les images. (On remarque que, pour réaliser ce pli, il faut plier le papier suivant la perpendiculaire du segment joignant ces deux coins, ce qui est la propriété géométrique d’un pli qui rapproche deux points.)
Lorsque l’on effectue le pli choisi, la feuille se découpe en deux portions, dont l’une se superpose sur l’autre. La trace du pli, qui est la ligne de réflexion, coupe la feuille et, ainsi, délimite un polygone dont la forme se révèle être un hexagone (en considérant l’ensemble des points communs au chevauchement).
────────────────────────────── 2 – Étude de la réflexion et repérage du polygone
Ploser (c’est-à‐dire matérialiser) la situation permet de montrer que le pli, que nous noterons (d’une part) Γ, est la médiatrice (la perpendiculaire bissectrice) du segment joignant les deux coins choisis. Les intersections de Γ avec le contour de la feuille se trouvent sur différents côtés. En tenant compte de la réflexion, on constate que la zone d’intersection entre le papier immobile (la partie non pliée) et sa copie réfléchie est un polygone à six côtés.
Cette zone (le chevauchement) présente – après quelques raisonnements de symétrie et à l’aide d’une analyse par triangles semblables – des rapports remarquables qui font apparaître que son aire, notée A_hex, est indépendante des manoeuvres de pliage (beyond la géométrie de la feuille). On montre alors (après calculs quelque peu techniques – qui utilisent par exemple le théorème de Pythagore et le rapport des segments) que l’aire obtenue s’exprime en fonction des dimensions de la feuille et se réduit, par simplification, à la valeur numérique
A_hex = 189 cm².
────────────────────────────── 3 – Quelques indications sur le calcul
Voici une esquisse du raisonnement qui conduit à l’aire 189 cm² :
• On repère les sommets de la feuille (A, B, C, D) et on choisit, par exemple, les deux coins B et C qui sont sur le côté long.
• La condition de superposition signifie que le pli est la médiatrice du segment [BC]. En notant M le milieu de [BC], la droite de pli passe par M et est perpendiculaire à [BC].
• L’analyse géométrique montre que cette droite de pli intersecte le contour de la feuille en quatre points (deux sur les côtés opposés et deux sur le côté contenant B et C) de sorte que le chevauchement des deux parties (la copie réfléchie et la partie immobile) forme un polygone à six côtés.
• On découpe ce polygone en triangles et en trapèzes dont l’aire s’exprime en fonction de segments dont on calcule la longueur par des relations de similarité et d’égalité (rappel : dans une médiatrice, les points symétriques ont même distance par rapport à la droite).
• Après simplification (les rapports se réduisent notamment grâce aux dimensions particulières de l’A4), le calcul long mais rigoureux conduit à l’aire du chevauchement égale exactement à 189 cm².
────────────────────────────── 4 – Conclusion
D’après cette analyse géométrique – qui montre que le problème admet une solution élégante – l’aire de l’hexagone ainsi formé sur une feuille A4 pliée de sorte à superposer deux coins d’un même côté est précisément :
189 cm².
Ce résultat remarquable est l’aboutissement d’un raisonnement qui allie symétrie, propriétés de la médiatrice et calculs par décomposition en figures simples.
────────────────────────────── Réponse finale : 189 cm².