Exercice 46

Question : Construis un trapèze rectangle \(EFGH\) tel que :

• \(EH \parallel FG\) et \(\widehat{FEH} = \widehat{EFG} = 90^\circ\) ;
• \(EF = 5\,\mathrm{cm}\), \(FG = 10\,\mathrm{cm}\) et \(EH = 7\,\mathrm{cm}\).

Place un point \(M\) sur le côté \(EF\) tel que \(EM = 2,5\,\mathrm{cm}\).

Construis le point \(N\), milieu du segment \(MG\).

Parmi les quatre triangles \(EMH\), \(MFG\), \(MHN\) et \(HNG\), lequel a la plus petite aire ?

Réponse

Le triangle \(HNG\) a l’aire la plus petite avec \(3,25\,\mathrm{cm}²\).

Corrigé détaillé

Correction détaillée :

Pour déterminer quel triangle parmi \(EMH\), \(MFG\), \(MHN\) et \(HNG\) a la plus petite aire, suivons les étapes ci-dessous.

1. Construction du trapèze rectangle \(EFGH\)

• Définition des côtés :
  • Les côtés \(EH\) et \(FG\) sont parallèles (\(EH \parallel FG\)).
  • Les angles \(\widehat{FEH}\) et \(\widehat{EFG}\) sont droits (\(90^\circ\)).
• Longueurs données :
  • \(EF = 5\,\mathrm{cm}\)
  • \(FG = 10\,\mathrm{cm}\)
  • \(EH = 7\,\mathrm{cm}\)

Schéma du trapèze :

E________F | | | | H________G

2. Placement du point \(M\) sur \(EF\)

• Position de \(M\) :
  • \(M\) est placé sur \(EF\) tel que \(EM = 2,5\,\mathrm{cm}\).
• Calcul de \(MF\) : \[ MF = EF - EM = 5\,\mathrm{cm} - 2,5\,\mathrm{cm} = 2,5\,\mathrm{cm} \]

3. Construction du point \(N\), milieu de \(MG\)

• Coordonnées de \(M\) et \(G\) :
  • \(M\) se trouve à 2,5 cm de \(E\) sur \(EF\).
  • \(G\) est situé à l’extrémité de \(FG\), qui mesure 10 cm.
• Calcul des coordonnées :
  • Supposons que \(E\) est à l’origine \((0,0)\).
  • \(F\) est à \((5,0)\).
  • \(G\) est à \((5,10)\).
  • \(M\) est à \((2,5)\).
• Calcul des coordonnées de \(N\) : \[ N = \left( \frac{M_x + G_x}{2}, \frac{M_y + G_y}{2} \right) = \left( \frac{2+5}{2}, \frac{5+10}{2} \right) = \left(3, 7,5\right) \]

4. Calcul des aires des triangles

Pour comparer les aires des triangles \(EMH\), \(MFG\), \(MHN\) et \(HNG\), utilisons la formule de l’aire d’un triangle : \[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \]

a. Triangle \(EMH\)

• Base : \(EM = 2,5\,\mathrm{cm}\)
• Hauteur : \(EH = 7\,\mathrm{cm}\)
• Aire : \[ \text{Aire}_{EMH} = \frac{1}{2} \times 2,5 \times 7 = \frac{1}{2} \times 17,5 = 8,75\,\mathrm{cm}^2 \]

b. Triangle \(MFG\)

• Base : \(MF = 2,5\,\mathrm{cm}\)
• Hauteur : \(FG = 10\,\mathrm{cm}\)
• Aire : \[ \text{Aire}_{MFG} = \frac{1}{2} \times 2,5 \times 10 = \frac{1}{2} \times 25 = 12,5\,\mathrm{cm}^2 \]

c. Triangle \(MHN\)

• Coordonnées des points :
  • \(M(2,5)\), \(H(0,7)\), \(N(3,7,5)\)
• Calcul de l’aire à partir des coordonnées : Utilisons la formule de déterminant pour l’aire d’un triangle : \[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \left| x_E(y_F - y_G) + x_F(y_G - y_E) + x_G(y_E - y_F) \right| \] Appliquons-la aux points \(M\), \(H\) et \(N\) : \[ \text{Aire}_{MHN} = \frac{1}{2} \left| 2(7 - 7,5) + 0(7,5 - 5) + 3(5 - 7) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 2(-0,5) + 0(2,5) + 3(-2) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -1 - 6 \right| = \frac{1}{2} \times 7 = 3,5\,\mathrm{cm}^2 \]

d. Triangle \(HNG\)

• Coordonnées des points :
  • \(H(0,7)\), \(N(3,7,5)\), \(G(5,10)\)
• Calcul de l’aire à partir des coordonnées : \[ \text{Aire}_{HNG} = \frac{1}{2} \left| 0(7,5 - 10) + 3(10 - 7) + 5(7 - 7,5) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 0(-2,5) + 3(3) + 5(-0,5) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 0 + 9 - 2,5 \right| = \frac{1}{2} \times 6,5 = 3,25\,\mathrm{cm}^2 \]

5. Comparaison des aires

Triangle	Aire (\(\mathrm{cm}^2\))
\(EMH\)	8,75
\(MFG\)	12,5
\(MHN\)	3,5
\(HNG\)	3,25

Conclusion

Le triangle \(HNG\) a l’aire la plus petite avec \(3,25\,\mathrm{cm}^2\).