Exercice 45

Révisé : Question :

1. Peut-on placer une assiette circulaire dont l’aire est de \(64 \pi\ \mathrm{cm}^2\) dans un tiroir carré de \(16\ \mathrm{cm}\) de côté ?

2. Un terrain de sport circulaire est entouré d’une clôture dont la longueur totale est de \(94,2\ \mathrm{m}\). Quelle est l’aire de ce terrain de sport ?

Réponse

Réponses succinctes :

1. Oui, l’assiette peut être placée dans le tiroir car son diamètre de 16 cm est égal à la taille du tiroir.

2. L’aire du terrain de sport est d’environ 706,86 m².

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

a) Peut-on placer une assiette circulaire dont l’aire est de \(64 \pi\ \mathrm{cm}^{2}\) dans un tiroir carré de \(16\ \mathrm{cm}\) de côté ?

Étape 1 : Calculer le rayon de l’assiette

L’aire \(A\) d’un cercle est donnée par la formule : \[ A = \pi r^2 \] On nous donne \(A = 64\pi\ \mathrm{cm}^{2}\). Pour trouver le rayon \(r\) : \[ 64\pi = \pi r^2 \\ \Rightarrow r^2 = 64 \\ \Rightarrow r = \sqrt{64} \\ \Rightarrow r = 8\ \mathrm{cm} \]

Étape 2 : Déterminer le diamètre de l’assiette

Le diamètre \(d\) est deux fois le rayon : \[ d = 2r = 2 \times 8\ \mathrm{cm} = 16\ \mathrm{cm} \]

Étape 3 : Comparer le diamètre de l’assiette avec la taille du tiroir

Le tiroir est carré avec un côté de \(16\ \mathrm{cm}\). Pour que l’assiette s’insère complètement dans le tiroir, son diamètre doit être inférieur ou égal à la longueur du côté du tiroir.

Dans ce cas : \[ d = 16\ \mathrm{cm} \leq 16\ \mathrm{cm} \]

Conclusion :

Oui, on peut placer l’assiette dans le tiroir car le diamètre de l’assiette est égal à la longueur du côté du tiroir.

b) Un terrain de sport circulaire est entouré d’une clôture dont la longueur totale est de \(94,2\ \mathrm{m}\). Quelle est l’aire de ce terrain de sport ?

Étape 1 : Comprendre la relation entre la longueur de la clôture et le rayon du terrain

La longueur de la clôture correspond à la circonférence \(C\) du terrain circulaire, donnée par : \[ C = 2\pi r \] Où \(r\) est le rayon du terrain.

Étape 2 : Calculer le rayon \(r\) du terrain

On nous donne \(C = 94,2\ \mathrm{m}\). Pour trouver \(r\) : \[ 94,2 = 2\pi r \\ \Rightarrow r = \frac{94,2}{2\pi} \\ \Rightarrow r = \frac{94,2}{6,2832} \quad (\text{en arrondissant } \pi \approx 3,1416) \\ \Rightarrow r \approx 15\ \mathrm{m} \]

Étape 3 : Calculer l’aire \(A\) du terrain

L’aire d’un cercle est donnée par : \[ A = \pi r^2 \] En utilisant \(r \approx 15\ \mathrm{m}\) : \[ A = \pi \times (15)^2 \\ A = \pi \times 225 \\ A \approx 3,1416 \times 225 \\ A \approx 706,86\ \mathrm{m}^2 \]

Conclusion :

L’aire du terrain de sport est d’environ \(706,86\ \mathrm{m}^2\).