Question :
Quelle est la hauteur d’un trapèze dont l’aire est de \(120\, \mathrm{m}^{2}\), la grande base mesure 15 m et la petite base 10 m ?
L’aire d’un trapèze est de \(14\, \mathrm{cm}^{2}\). Sa grande base mesure 8,5 cm et sa hauteur est de \(2\, \mathrm{cm}\). Quelle est la mesure de sa petite base ?
L’aire du mur de cette maison est de \(75\,000\, \mathrm{m}^{2}\). Quelle est la hauteur maximale du mur ?
Nous allons traiter chacune des parties étape par étape.
────────────────────────────── 1. Partie a)
On nous donne : • Aire A = 120 m²
• Grande base B = 15 m
• Petite base b = 10 m
La formule de l’aire d’un trapèze est : A = ((B + b) ÷ 2) × h (1)
Nous cherchons la hauteur h. Pour cela, isolons h dans (1) :
h = (2 × A) ÷ (B + b)
Ici, on calcule : B + b = 15 + 10 = 25
2 × A = 2 × 120 = 240
D’où : h = 240 ÷ 25 = 9,6 m
La hauteur du trapèze est donc 9,6 m.
────────────────────────────── 2. Partie b)
On nous donne : • Aire A = 14 cm²
• Grande base B = 8,5 cm
• Hauteur h = 2 cm
• On cherche la petite base b.
Toujours, la formule est : A = ((B + b)/2) × h
Isolons (B + b) : (B + b) = (2 × A) ÷ h
Calculons : 2 × A = 2 × 14 = 28
h = 2, donc (B + b) = 28 ÷ 2 = 14
Or, B = 8,5 cm donc : 8,5 + b = 14
b = 14 – 8,5 = 5,5 cm
La petite base mesure 5,5 cm.
────────────────────────────── 3. Partie c)
L’énoncé nous donne : • Une aire A = 75 000 m² pour le mur de la maison • On demande « la hauteur maximale du mur »
Ici, on considère que le mur a la forme d’un trapèze. La formule reste toujours : A = ((B + b)/2) × h
Pour une aire fixée, la hauteur h sera maximale lorsque la moyenne des bases ((B + b)/2) est minimale. Dans un trapèze, si la configuration le permet, cette moyenne est la plus petite lorsque la petite base b est réduite à 0 (on obtient ainsi un triangle dégénéré issue de la limite d’un trapèze). Dans cette situation, la formule devient :
A = (B/2) × h_max
Isolons h_max : h_max = (2 × A) ÷ B
Nous obtenons donc : h_max = (2 × 75 000) ÷ B = 150 000 ÷ B
Remarque importante :
Sans la donnée numérique concernant la mesure de la grande base B du
mur, il n’est pas possible d’obtenir une valeur numérique unique pour
h_max. La hauteur maximale dépendra donc de la valeur de B.
• Par exemple, si l’on suppose que la grande base mesure 50 m alors
:
h_max = 150 000 ÷ 50 = 3 000 m
• Si la grande base mesure, par contre, 100 m alors :
h_max = 150 000 ÷ 100 = 1 500 m
Ainsi, la hauteur maximale du mur est donnée par la formule :
h_max = 150 000 ÷ B (avec B en m)
Sans information complémentaire sur la mesure de la grande base, nous ne pouvons pas fixer de valeur numérique définitive.
────────────────────────────── Conclusion
La hauteur du trapèze est de 9,6 m.
La petite base mesure 5,5 cm.
Si le mur est en forme de trapèze, sa hauteur maximale (lorsque
la petite base est nulle) est h_max = (150 000 ÷ B) m, où B est la
mesure de la grande base du mur.
On ne peut donner une valeur numérique unique sans connaître
B.