Exercice 43

Question :

1. Quelle est la largeur d’un rectangle dont le périmètre est de 30 cm et la longueur est de 7 cm ?

2. Quelle est la hauteur d’un triangle dont la base mesure 8 cm et l’aire est de \(24 \, \text{cm}^2\) ?

3. Quel est le rayon d’un cercle dont le périmètre est de \(8\pi \, \text{cm}\) ?

Réponse

a) La largeur du rectangle est de 8 cm en utilisant la formule du périmètre.

b) La hauteur du triangle est de 6 cm en appliquant la formule de l’aire.

c) Le rayon du cercle est de 4 cm en résolvant l’équation du périmètre.

Corrigé détaillé

Correction des exercices

a) Largeur d’un rectangle

Énoncé :
Quelle est la largeur d’un rectangle dont le périmètre est de 30 cm et la longueur est de 7 cm ?

Correction :

Pour trouver la largeur du rectangle, utilisons la formule du périmètre du rectangle :

\[ P = 2 \times (\text{Longueur} + \text{Largeur}) \]

Étapes :

1. Identifier les données :

   • Périmètre \(P = 30 \, \text{cm}\)
   • Longueur \(L = 7 \, \text{cm}\)
   • Largeur \(l = ?\)

2. Écrire l’équation du périmètre avec les valeurs connues :

   \[ 30 = 2 \times (7 + l) \]

3. Diviser les deux côtés de l’équation par 2 pour simplifier :

   \[ \frac{30}{2} = 7 + l \Rightarrow 15 = 7 + l \]

4. Isoler la largeur \(l\) en soustrayant 7 des deux côtés :

   \[ 15 - 7 = l \Rightarrow l = 8 \, \text{cm} \]

Réponse : La largeur du rectangle est de 8 cm.

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b) Hauteur d’un triangle

Énoncé :
Quelle est la hauteur d’un triangle dont la base mesure 8 cm et l’aire est de \(24 \, \text{cm}^2\) ?

Correction :

Pour trouver la hauteur du triangle, utilisons la formule de l’aire du triangle :

\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Hauteur} \]

Étapes :

1. Identifier les données :

   • Aire \(A = 24 \, \text{cm}^2\)
   • Base \(b = 8 \, \text{cm}\)
   • Hauteur \(h = ?\)

2. Écrire l’équation de l’aire avec les valeurs connues :

   \[ 24 = \frac{1}{2} \times 8 \times h \]

3. Simplifier l’équation :

   \[ 24 = 4 \times h \]

4. Isoler la hauteur \(h\) en divisant les deux côtés par 4 :

   \[ h = \frac{24}{4} \Rightarrow h = 6 \, \text{cm} \]

Réponse : La hauteur du triangle est de 6 cm.

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c) Rayon d’un cercle

Énoncé :
Quel est le rayon d’un cercle dont le périmètre est de \(8\pi \, \text{cm}\) ?

Correction :

Pour trouver le rayon du cercle, utilisons la formule du périmètre (circonférence) du cercle :

\[ P = 2\pi r \]

Étapes :

1. Identifier les données :

   • Périmètre \(P = 8\pi \, \text{cm}\)
   • Rayon \(r = ?\)

2. Écrire l’équation du périmètre avec les valeurs connues :

   \[ 8\pi = 2\pi r \]

3. Isoler le rayon \(r\) en divisant les deux côtés de l’équation par \(2\pi\) :

   \[ r = \frac{8\pi}{2\pi} = 4 \, \text{cm} \]

Réponse : Le rayon du cercle est de 4 cm.