Exercice 42

Question :
Déterminez la largeur \(x\) du chemin central de sorte que son aire soit égale à celle des parties restantes du jardin.

Réponse

La largeur du chemin central est la moitié de la largeur du jardin, soit \(x = \frac{W}{2}\).

Corrigé détaillé

Correction détaillée :

Nous devons déterminer la largeur \(x\) du chemin central de sorte que son aire soit égale à celle des parties restantes du jardin.

Étape 1 : Comprendre le problème

Imaginons un jardin de forme rectangulaire avec un chemin central de largeur \(x\) qui traverse le jardin. L’objectif est de trouver la valeur de \(x\) telle que l’aire du chemin soit égale à l’aire des parties restantes du jardin.

Étape 2 : Définir les dimensions du jardin

Supposons que le jardin a une longueur \(L\) et une largeur \(W\). Le chemin central traverse à la fois la longueur et la largeur du jardin.

Étape 3 : Calculer l’aire totale du jardin

L’aire totale du jardin est donnée par : \[ \text{Aire totale} = L \times W \]

Étape 4 : Calculer l’aire du chemin central

Le chemin central forme un rectangle dont la longueur est \(L\) et la largeur est \(x\). Ainsi, l’aire du chemin est : \[ \text{Aire du chemin} = L \times x \]

Étape 5 : Calculer l’aire des parties restantes du jardin

Les parties restantes du jardin sont les zones en dehors du chemin central. Leur aire est donc : \[ \text{Aire des parties restantes} = \text{Aire totale} - \text{Aire du chemin} = L \times W - L \times x \]

Étape 6 : Établir l’égalité des aires

Selon le problème, l’aire du chemin doit être égale à l’aire des parties restantes. On a donc : \[ L \times x = L \times W - L \times x \]

Étape 7 : Résoudre l’équation pour \(x\)

Simplifions l’équation : \[ Lx = LW - Lx \]

Ajoutons \(Lx\) des deux côtés : \[ Lx + Lx = LW \] \[ 2Lx = LW \]

Divisons les deux côtés par \(2L\) : \[ x = \frac{LW}{2L} = \frac{W}{2} \]

Étape 8 : Conclusion

La largeur \(x\) du chemin central doit être égale à la moitié de la largeur totale du jardin. Donc : \[ x = \frac{W}{2} \]

Cela signifie que si la largeur du jardin est, par exemple, 10 mètres, la largeur du chemin central sera de : \[ x = \frac{10}{2} = 5 \text{ mètres} \]

Ainsi, le chemin central occupera exactement la moitié de la largeur du jardin, assurant que son aire est égale à celle des parties restantes.