Question : La somme des aires de trois carrés est de \(365\ \mathrm{cm}^{2}\). Trouve les mesures de leurs côtés, sachant qu’ils sont des nombres entiers consécutifs.
Les trois carrés ont des côtés de 10 cm, 11 cm et 12 cm.
On cherche trois carrés dont les côtés sont des entiers consécutifs. On va poser :
x = le côté du premier carré
x + 1 = le côté du deuxième carré
x + 2 = le côté du troisième carré
Les aires de ces carrés sont respectivement :
x², (x + 1)², (x + 2)²
D’après l’énoncé, la somme des aires est égale à 365 cm². On peut donc écrire l’équation suivante :
x² + (x + 1)² + (x + 2)² = 365
Développons chacune des expressions :
(x + 1)² = x² + 2x + 1
(x + 2)² = x² + 4x + 4
En les substituant dans l’équation :
x² + (x² + 2x + 1) + (x² + 4x + 4) = 365
Additionnons les termes semblables :
x² + x² + x² = 3x²
2x + 4x = 6x
1 + 4 = 5
L’équation devient donc :
3x² + 6x + 5 = 365
Pour résoudre cette équation, soustrayons 365 des deux côtés :
3x² + 6x + 5 - 365 = 0
3x² + 6x - 360 = 0
Divisons ensuite toute l’équation par 3 pour simplifier :
x² + 2x - 120 = 0
Nous obtenons une équation du second degré. Pour la résoudre, nous utilisons la méthode de factorisation ou la formule quadratique. Ici, cherchons deux nombres dont le produit est -120 et dont la somme est 2.
Les nombres 12 et -10 conviennent, puisque :
12 × (-10) = -120 et 12 + (-10) = 2
Nous pouvons donc factoriser l’équation :
(x + 12)(x - 10) = 0
Les solutions de cette équation sont :
x + 12 = 0 donc x = -12
x - 10 = 0 donc x = 10
Comme x représente la longueur d’un côté de carré, seule la solution positive est acceptable. Ainsi, x = 10.
Les côtés des trois carrés sont donc :
Premier carré : 10 cm
Deuxième carré : 10 + 1 = 11 cm
Troisième carré : 10 + 2 = 12 cm
Pour vérifier, calculons leurs aires :
10² = 100 cm²
11² = 121 cm²
12² = 144 cm²
La somme est :
100 + 121 + 144 = 365 cm²
La vérification montre que le résultat est correct.
Conclusion : Les mesures des côtés des trois carrés sont 10 cm, 11 cm et 12 cm.