Exercice 39

Question : PQRS est un rectangle de longueur égale à 12 cm et de largeur égale à 7 cm. \(R\) est un point du segment \([PQ]\) tel que \(QR = x\).

a. Faites un schéma.

b. Exprimez, en fonction de \(x\), la longueur \(PR\), puis l’aire du triangle \(PRS\).

c. Déterminez \(x\) pour que l’aire du rectangle \(PQRS\) soit le triple de l’aire du triangle \(PRS\).

Réponse

Résumé de la correction :

1. Schéma du rectangle PQRS avec \(R\) sur \(PQ\).

2. \(PR = \sqrt{144 + x²}\) et l’aire du triangle \(PRS\) est \(\frac{7}{2} \sqrt{144 + x²}\).

3. Aucune valeur réelle de \(x\) ne permet que l’aire du rectangle soit le triple de celle du triangle \(PRS\).

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Question :
PQRS est un rectangle de longueur égale à 12 cm et de largeur égale à 7 cm. \(R\) est un point du segment \([PQ]\) tel que \(QR = x\).

a. Faites un schéma.

Correction a :

Pour réaliser le schéma de PQRS avec les informations données :

1. Tracer le rectangle PQRS :
   • Dessinez un rectangle où la longueur \(PQ = 12\) cm et la largeur \(PS = 7\) cm.
   • Étiquetez les sommets dans le sens horaire : \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\).
2. Placer le point \(R\) sur \([PQ]\) :
   • Sur le segment \(PQ\), choisissez un point \(R\) tel que la longueur \(QR = x\).
3. Relier les points pour former le triangle \(PRS\) :
   • Tracez les segments \(PR\) et \(RS\) pour former le triangle \(PRS\).

Schéma :

(Remplacer par un schéma approprié)

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b. Exprimez, en fonction de \(x\), la longueur \(PR\), puis l’aire du triangle \(PRS\).

Correction b :

1. Expression de \(PR\) en fonction de \(x\) :

   • Dans le rectangle PQRS, le segment \(PR\) est une diagonale du triangle rectangle \(PQR\).
   • Selon le théorème de Pythagore : \[ PR = \sqrt{PQ^2 + QR^2} \] Or, \(PQ = 12\) cm et \(QR = x\), donc : \[ PR = \sqrt{12^2 + x^2} = \sqrt{144 + x^2} \]

2. Calcul de l’aire du triangle \(PRS\) :

   • Le triangle \(PRS\) est un triangle rectangle en \(R\) car \(PQRS\) est un rectangle.
   • La base du triangle est \(PR\) et la hauteur est \(RS = 7\) cm.
   • L’aire \(A\) du triangle est donnée par : \[ A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{2} \times PR \times RS \] En remplaçant : \[ A = \frac{1}{2} \times \sqrt{144 + x^2} \times 7 = \frac{7}{2} \times \sqrt{144 + x^2} \]

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c. Déterminez \(x\) pour que l’aire du rectangle \(PQRS\) soit le triple de l’aire du triangle \(PRS\).

Correction c :

1. Calcul de l’aire du rectangle PQRS :

   • Aire du rectangle : \[ A_{\text{rectangle}} = \text{longueur} \times \text{largeur} = 12 \times 7 = 84 \text{ cm}^2 \]

2. Expression de l’aire du triangle PRS :

   • Comme trouvé précédemment : \[ A_{\text{triangle}} = \frac{7}{2} \times \sqrt{144 + x^2} \]

3. Condition donnée :

   • L’aire du rectangle est le triple de celle du triangle : \[ A_{\text{rectangle}} = 3 \times A_{\text{triangle}} \] En remplaçant les valeurs : \[ 84 = 3 \times \left( \frac{7}{2} \times \sqrt{144 + x^2} \right) \]

4. Résolution de l’équation :

   • Simplifions l’équation : \[ 84 = \frac{21}{2} \times \sqrt{144 + x^2} \] \[ \sqrt{144 + x^2} = \frac{84 \times 2}{21} = 8 \] \[ 144 + x^2 = 8^2 = 64 \] \[ x^2 = 64 - 144 = -80 \]

5. Analyse de la solution :

   • On obtient \(x^2 = -80\), ce qui est impossible car le carré d’un nombre réel est toujours positif.
   • Conclusion : Il n’existe aucun réel \(x\) tel que l’aire du rectangle soit le triple de celle du triangle \(PRS\).

Remarque : Cette situation implique qu’il y a une erreur dans l’énoncé ou dans les calculs précédents. Une rectification est nécessaire pour que la solution ait un sens.