Exercice 28

La hauteur d’un trapèze mesure 5 m. Une de ses bases est le double de l’autre. On sait que son aire est comprise entre \(60 \mathrm{~m}^{2}\) et \(120 \mathrm{~m}^{2}\). Quelle est la plus petite longueur possible pour chacune de ses bases ? Et la plus grande ?

Réponse

Réponse finale :

• Plus petite longueur des bases : \(b_1 = 8 \, \text{m}\) et \(b_2 = 16 \, \text{m}\)
• Plus grande longueur des bases : \(b_1 = 16 \, \text{m}\) et \(b_2 = 32 \, \text{m}\)

Corrigé détaillé

Pour résoudre ce problème, procédons étape par étape en utilisant les informations fournies.

Données du problème

• Hauteur du trapèze (\(h\)) : 5 mètres
• Relation entre les bases : Une base est le double de l’autre. Supposons que la plus petite base soit \(b_1\) et que la plus grande base soit \(b_2 = 2b_1\).
• Aire du trapèze (\(A\)) : Compris entre \(60\) m² et \(120\) m².

Formule de l’aire d’un trapèze

L’aire \(A\) d’un trapèze se calcule à l’aide de la formule suivante :

\[ A = \frac{(b_1 + b_2)}{2} \times h \]

Substitution des valeurs connues

Sachant que \(b_2 = 2b_1\), substituons cette relation dans la formule de l’aire :

\[ A = \frac{(b_1 + 2b_1)}{2} \times 5 = \frac{3b_1}{2} \times 5 = \frac{15b_1}{2} \]

Définition des inégalités pour l’aire

L’aire doit être comprise entre \(60\) m² et \(120\) m². Donc :

\[ 60 \leq \frac{15b_1}{2} \leq 120 \]

Résolution des inégalités pour \(b_1\)

Résolvons d’abord l’inégalité inférieure :

\[ 60 \leq \frac{15b_1}{2} \]

Multipliions les deux membres par \(2\) pour éliminer le dénominateur :

\[ 120 \leq 15b_1 \]

Divisons ensuite par \(15\) :

\[ b_1 \geq 8 \]

Maintenant, résolvons l’inégalité supérieure :

\[ \frac{15b_1}{2} \leq 120 \]

Multipliions les deux membres par \(2\) :

\[ 15b_1 \leq 240 \]

Divisons par \(15\) :

\[ b_1 \leq 16 \]

Conclusion pour \(b_1\)

Nous avons trouvé que la plus petite valeur possible pour \(b_1\) est \(8\) mètres et la plus grande valeur possible est \(16\) mètres.

\[ 8 \, \text{m} \leq b_1 \leq 16 \, \text{m} \]

Calcul des valeurs correspondantes pour \(b_2\)

Puisque \(b_2 = 2b_1\), nous multiplions les bornes obtenues pour \(b_1\) par \(2\) :

• Pour \(b_1 = 8\) m : \[ b_2 = 2 \times 8 = 16 \, \text{m} \]

• Pour \(b_1 = 16\) m : \[ b_2 = 2 \times 16 = 32 \, \text{m} \]

Réponse finale

• Plus petite longueur possible pour les bases : \[ b_1 = 8 \, \text{m} \quad \text{et} \quad b_2 = 16 \, \text{m} \]

• Plus grande longueur possible pour les bases : \[ b_1 = 16 \, \text{m} \quad \text{et} \quad b_2 = 32 \, \text{m} \]