Quel doit être le rapport du côté d’un carré de longueur \(a\) au rayon \(r\) d’un disque, afin que le carré et le disque aient la même aire ?
Pour que le carré et le disque aient la même aire, le côté du carré \(a\) doit être égal à \(\sqrt{\pi}\) fois le rayon \(r\) du disque, c’est-à-dire \(a = \sqrt{\pi} \, r \approx 1,772 \, r\).
Pour que le carré et le disque aient la même aire, nous devons établir une relation entre la longueur du côté du carré \(a\) et le rayon du disque \(r\). Voici les étapes détaillées pour trouver ce rapport.
Un carré avec un côté de longueur \(a\) a une aire calculée par la formule : \[ \text{Aire}_{\text{carré}} = a \times a = a^2 \]
Un disque avec un rayon de longueur \(r\) a une aire calculée par la formule : \[ \text{Aire}_{\text{disque}} = \pi \times r^2 \] où \(\pi\) est une constante approximativement égale à 3,1416.
Pour que le carré et le disque aient la même aire, il faut que : \[ a^2 = \pi r^2 \]
Nous devons isoler le rapport \(\frac{a}{r}\). Pour ce faire, suivons les étapes suivantes :
Divisons les deux côtés de l’équation par \(r^2\) : \[ \frac{a^2}{r^2} = \pi \]
Prenons la racine carrée des deux côtés pour obtenir le rapport \(\frac{a}{r}\) : \[ \frac{a}{r} = \sqrt{\pi} \]
Le rapport entre la longueur du côté du carré \(a\) et le rayon du disque \(r\) doit être égal à la racine carrée de \(\pi\) pour que les deux figures aient la même aire. En d’autres termes : \[ \frac{a}{r} = \sqrt{\pi} \approx 1,772 \]
Ainsi, si le côté du carré mesure \(1,772\) fois le rayon du disque, les aires des deux figures seront identiques.