Exercice 26

Sur un cercle, un angle au centre \(\alpha\) intercepte un arc de longueur \(2{,}1~\text{cm}\) et un secteur d’aire \(3~\text{cm}^{2}\). Sur ce même cercle, un autre angle au centre \(\beta\) intercepte un secteur d’aire \(4~\text{cm}^{2}\). Quelle est la longueur de l’arc intercepté par l’angle \(\beta\) ?

Réponse

La longueur de l’arc intercepté par l’angle β est de 2,8 cm.

Corrigé détaillé

Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser les relations entre la longueur d’un arc, l’aire d’un secteur et le rayon du cercle. Suivons étape par étape le raisonnement nécessaire.

Données du problème

1. Angle α :
   • Longueur de l’arc intercepté : \(s_\alpha = 2{,}1~\text{cm}\)
   • Aire du secteur : \(A_\alpha = 3~\text{cm}^2\)
2. Angle β :
   • Aire du secteur : \(A_\beta = 4~\text{cm}^2\)
   • Longueur de l’arc intercepté : \(s_\beta\) (à déterminer)

Étape 1 : Relations fondamentales

Pour un cercle de rayon \(r\) et un angle au centre \(\theta\) (en radians), nous avons les relations suivantes :

1. Longueur de l’arc intercepté : \[ s = r \theta \]

2. Aire du secteur : \[ A = \frac{1}{2} r^2 \theta \]

Étape 2 : Détermination du rayon \(r\) du cercle

Nous allons d’abord utiliser les informations relatives à l’angle \(\alpha\) pour trouver le rayon \(r\).

1. Exprimer \(\theta_\alpha\) en fonction de \(r\) : \[ s_\alpha = r \theta_\alpha \Rightarrow \theta_\alpha = \frac{s_\alpha}{r} = \frac{2{,}1}{r} \]

2. Utiliser l’aire du secteur pour exprimer \(A_\alpha\) : \[ A_\alpha = \frac{1}{2} r^2 \theta_\alpha \Rightarrow 3 = \frac{1}{2} r^2 \left( \frac{2{,}1}{r} \right) \]

3. Simplifier l’équation : \[ 3 = \frac{1}{2} \times 2{,}1 \times r \Rightarrow 3 = 1{,}05 \times r \]

4. Résoudre pour \(r\) : \[ r = \frac{3}{1{,}05} = \frac{300}{105} = \frac{60}{21} = \frac{20}{7} \approx 2{,}857~\text{cm} \]

Étape 3 : Détermination de \(\theta_\beta\)

Avec le rayon \(r\) connu, nous pouvons déterminer l’angle \(\beta\) à partir de l’aire du secteur.

1. Exprimer \(\theta_\beta\) : \[ A_\beta = \frac{1}{2} r^2 \theta_\beta \Rightarrow 4 = \frac{1}{2} \left( \frac{20}{7} \right)^2 \theta_\beta \]

2. Simplifier l’équation : \[ 4 = \frac{1}{2} \times \frac{400}{49} \times \theta_\beta \Rightarrow 4 = \frac{200}{49} \theta_\beta \]

3. Résoudre pour \(\theta_\beta\) : \[ \theta_\beta = \frac{4 \times 49}{200} = \frac{196}{200} = \frac{49}{50}~\text{radians} \]

Étape 4 : Calcul de la longueur de l’arc intercepté par \(\beta\)

Enfin, nous utilisons la relation entre la longueur de l’arc et l’angle \(\theta_\beta\) pour trouver \(s_\beta\).

\[ s_\beta = r \theta_\beta = \frac{20}{7} \times \frac{49}{50} = \frac{980}{350} = 2{,}8~\text{cm} \]

Conclusion

La longueur de l’arc intercepté par l’angle \(\beta\) est de 2,8 cm.