Calculer la longueur des arcs et l’aire des secteurs suivants :
| Rayon du cercle | Angle au centre |
|---|---|
| 5 cm | \(180^{\circ}\) |
| 5 cm | \(90^{\circ}\) |
| 5 cm | \(45^{\circ}\) |
| 10 cm | \(36^{\circ}\) |
| 8 cm | \(72^{\circ}\) |
Les longueurs des arcs et les aires des secteurs ont été calculées pour différents rayons et angles en utilisant les formules \(L = 2\pi R \times \frac{\theta}{360}\) et \(A = \pi R^2 \times \frac{\theta}{360}\). Les résultats sont résumés dans le tableau final.
Pour résoudre ce type d’exercice, nous devons utiliser deux formules fondamentales liées aux cercles :
Longueur de l’arc (\(L\)) :
\[ L = 2\pi R \times \left( \frac{\theta}{360} \right) \]
où :
Aire du secteur (\(A\)) :
\[ A = \pi R^2 \times \left( \frac{\theta}{360} \right) \]
où les variables sont les mêmes que pour la longueur de l’arc.
Nous allons appliquer ces formules à chaque cas présent dans le tableau.
\[ L = 2\pi R \times \left( \frac{\theta}{360} \right) = 2\pi \times 5 \times \left( \frac{180}{360} \right) \]
Simplifions l’expression :
\[ \frac{180}{360} = \frac{1}{2} \]
Donc,
\[ L = 2\pi \times 5 \times \frac{1}{2} = \pi \times 5 = 5\pi \ \text{cm} \]
\[ A = \pi R^2 \times \left( \frac{\theta}{360} \right) = \pi \times 5^2 \times \left( \frac{180}{360} \right) \]
Simplifions l’expression :
\[ 5^2 = 25 \quad \text{et} \quad \frac{180}{360} = \frac{1}{2} \]
Donc,
\[ A = \pi \times 25 \times \frac{1}{2} = \frac{25\pi}{2} \ \text{cm}^2 \]
\[ L = 2\pi \times 5 \times \left( \frac{90}{360} \right) = 10\pi \times \frac{1}{4} = \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2} \ \text{cm} \]
\[ A = \pi \times 5^2 \times \left( \frac{90}{360} \right) = 25\pi \times \frac{1}{4} = \frac{25\pi}{4} \ \text{cm}^2 \]
\[ L = 2\pi \times 5 \times \left( \frac{45}{360} \right) = 10\pi \times \frac{1}{8} = \frac{10\pi}{8} = \frac{5\pi}{4} \ \text{cm} \]
\[ A = \pi \times 5^2 \times \left( \frac{45}{360} \right) = 25\pi \times \frac{1}{8} = \frac{25\pi}{8} \ \text{cm}^2 \]
\[ L = 2\pi \times 10 \times \left( \frac{36}{360} \right) = 20\pi \times \frac{1}{10} = 2\pi \ \text{cm} \]
\[ A = \pi \times 10^2 \times \left( \frac{36}{360} \right) = 100\pi \times \frac{1}{10} = 10\pi \ \text{cm}^2 \]
\[ L = 2\pi \times 8 \times \left( \frac{72}{360} \right) = 16\pi \times \frac{1}{5} = \frac{16\pi}{5} \ \text{cm} \]
\[ A = \pi \times 8^2 \times \left( \frac{72}{360} \right) = 64\pi \times \frac{1}{5} = \frac{64\pi}{5} \ \text{cm}^2 \]
| Rayon du cercle | Angle au centre | Longueur de l’arc (\(L\)) | Aire du secteur (\(A\)) |
|---|---|---|---|
| 5 cm | \(180^{\circ}\) | \(5\pi\) cm | \(\dfrac{25\pi}{2}\) cm² |
| 5 cm | \(90^{\circ}\) | \(\dfrac{5\pi}{2}\) cm | \(\dfrac{25\pi}{4}\) cm² |
| 5 cm | \(45^{\circ}\) | \(\dfrac{5\pi}{4}\) cm | \(\dfrac{25\pi}{8}\) cm² |
| 10 cm | \(36^{\circ}\) | \(2\pi\) cm | \(10\pi\) cm² |
| 8 cm | \(72^{\circ}\) | \(\dfrac{16\pi}{5}\) cm | \(\dfrac{64\pi}{5}\) cm² |
Ces calculs permettent de déterminer la longueur des arcs et l’aire des secteurs pour différents rayons et angles au centre. En appliquant systématiquement les formules, on obtient des résultats précis et cohérents.