La largeur d’une piscine rectangulaire est égale à \(\frac{3}{4}\) de sa longueur. La piscine est entourée d’une allée de 3 m de large, et la surface totale de la piscine et de l’allée est de \(246 \, \mathrm{m}^2\). Calculer les dimensions de la piscine.
La longueur de la piscine est L = √329 − 7, soit environ 11,14 m, et sa largeur est l = (3/4)L, soit environ 8,36 m.
Nous allons déterminer la longueur (L) et la largeur (l) de la piscine en suivant plusieurs étapes.
────────────────────────────── 1. Définir les inconnues
On note : • L = la longueur de la piscine • l = la largeur de la piscine
On nous dit que la largeur est égale à (3/4) de la longueur, soit : l = (3/4)L
────────────────────────────── 2. Expression des dimensions totales
La piscine est entourée d’une allée de 3 m de large. Cela signifie
que de chaque côté de la piscine, on ajoute 3 m. L’aire totale (piscine
+ allée) correspond à un grand rectangle dont : • La longueur totale = L
+ 2×3 = L + 6 • La largeur totale = l + 2×3 = l + 6
(puisque l’allée est ajoutée à gauche et à droite pour la largeur, et
en haut et en bas pour la longueur)
────────────────────────────── 3. Écrire l’équation de l’aire totale
On connaît l’aire totale qui est donnée : 246 m². Ainsi, on a : (L + 6) × (l + 6) = 246
En remplaçant l par (3/4)L, l’équation devient : (L + 6) × ((3/4)L + 6) = 246
────────────────────────────── 4. Développer et simplifier l’équation
Tout d’abord, écrivons l’équation : (L + 6) × ((3/4)L + 6) = 246
Pour simplifier, on développe le produit : = L × ((3/4)L + 6) + 6 × ((3/4)L + 6) = (3/4)L² + 6L + (18/4)L + 36
Remarquons que (18/4)L peut être simplifié en (9/2)L. Regroupons les termes semblables : (3/4)L² + [6L + (9/2)L] + 36
Pour additionner 6L et (9/2)L, on écrit 6L sous forme de fraction avec le même dénominateur : 6L = (12/2)L Donc, 6L + (9/2)L = (12/2 + 9/2)L = (21/2)L
L’équation devient alors : (3/4)L² + (21/2)L + 36 = 246
────────────────────────────── 5. Éliminer les fractions
Pour se débarrasser des fractions, on multiplie chaque terme par 4 (le dénominateur commun) : 4 × [(3/4)L²] + 4 × [(21/2)L] + 4 × 36 = 4 × 246 Ce qui donne : 3L² + 2 × 21L + 144 = 984
Calculons 2 × 21L : 2 × 21L = 42L
L’équation devient donc : 3L² + 42L + 144 = 984
Pour obtenir une équation égale à 0, on soustrait 984 de chaque côté : 3L² + 42L + 144 − 984 = 0 3L² + 42L − 840 = 0
Divisons ensuite par 3 pour simplifier : L² + 14L − 280 = 0
────────────────────────────── 6. Résoudre l’équation quadratique
Nous avons l’équation : L² + 14L − 280 = 0
On peut utiliser la formule quadratique : L = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a) avec a = 1, b = 14, c = −280.
Calculons le discriminant : Δ = b² − 4ac = 14² − 4 × 1 × (−280) Δ = 196 + 1120 Δ = 1316
La solution est : L = [−14 ± √1316] / 2
On peut simplifier √1316. On remarque que 1316 = 4 × 329, donc : √1316 = √(4×329) = 2√329
Ainsi : L = [−14 ± 2√329] / 2 = −7 ± √329
Comme la longueur doit être positive, on retient : L = √329 − 7
────────────────────────────── 7. Calcul numérique et détermination de la largeur
Calculons une valeur approchée de √329. √329 ≈ 18,14 (approximativement)
Donc : L ≈ 18,14 − 7 = 11,14 m
Pour la largeur, on utilise la relation : l = (3/4)L Ainsi : l ≈ (3/4) × 11,14 ≈ 8,36 m
────────────────────────────── 8. Vérification (optionnelle)
Les dimensions totales (avec l’allée) sont : Longueur totale : L +
6 ≈ 11,14 + 6 = 17,14 m
Largeur totale : l + 6 ≈ 8,36 + 6 = 14,36 m
Vérifions l’aire totale : Aire totale ≈ 17,14 × 14,36 ≈ 246
m²
Ce qui correspond bien à l’énoncé.
────────────────────────────── Conclusion
• La longueur de la piscine est L = √329 − 7 (en valeur approchée,
environ 11,14 m).
• La largeur de la piscine est l = (3/4)(√329 − 7 (en valeur approchée,
environ 8,36 m).
La correction montre comment exprimer l’aire totale en fonction de la longueur, éliminer les fractions, et résoudre l’équation quadratique pour obtenir les dimensions de la piscine.