Si on diminue la grande diagonale d’un losange de 3 cm et la petite diagonale de 1 cm, l’aire diminue de \(7\,\text{cm}^2\). Si on augmente la grande diagonale de 4 cm et diminue la petite diagonale de 3 cm, l’aire diminue de \(12\,\text{cm}^2\). Calculez les dimensions de ce losange.
Les diagonales du losange sont d₁ = 8 cm et d₂ = 3 cm.
Nous voulons déterminer les longueurs des deux diagonales d’un losange. On note :
d₁ = la grande diagonale (en cm)
d₂ = la petite diagonale (en cm)
L’aire A d’un losange se calcule par la formule :
A = (d₁ × d₂) / 2
Nous avons deux situations décrites dans l’énoncé.
────────────────────────────── 1) Première situation
On diminue la grande diagonale de 3 cm et la petite diagonale de 1
cm.
La nouvelle aire devient :
A’ = [(d₁ – 3) × (d₂ – 1)] / 2
On sait que cette opération fait diminuer l’aire de 7 cm² par rapport
à l’aire initiale. Ainsi,
A’ = A – 7
En remplaçant A et A’ par leurs expressions, on obtient :
[(d₁ – 3)(d₂ – 1)] / 2 = (d₁ × d₂)/2 – 7
Pour se débarrasser du dénominateur, multiplions toute l’équation par
2 :
(d₁ – 3)(d₂ – 1) = d₁ × d₂ – 14
Développons le côté gauche :
d₁ d₂ – d₁ – 3d₂ + 3 = d₁ d₂ – 14
On remarque que d₁ d₂ apparaît de chaque côté, on peut l’annuler
:
– d₁ – 3d₂ + 3 = – 14
Pour isoler les termes en d₁ et d₂, ajoutons 14 des deux côtés
:
– d₁ – 3d₂ + 17 = 0
d₁ + 3d₂ = 17 (équation 1)
────────────────────────────── 2) Deuxième situation
On augmente la grande diagonale de 4 cm et on diminue la petite
diagonale de 3 cm.
La nouvelle aire devient alors :
A’’ = [(d₁ + 4)(d₂ – 3)] / 2
On sait que cette modification diminue l’aire de 12 cm², soit :
A’’ = A – 12
En remplaçant A et A’’ par leurs expressions :
[(d₁ + 4)(d₂ – 3)] / 2 = (d₁ × d₂) / 2 – 12
Multipliant toute l’équation par 2 pour éliminer le
dénominateur :
(d₁ + 4)(d₂ – 3) = d₁ d₂ – 24
Développons le côté gauche :
d₁ d₂ – 3d₁ + 4d₂ – 12 = d₁ d₂ – 24
Nous annulons encore d₁ d₂ de chaque côté :
– 3d₁ + 4d₂ – 12 = – 24
Isolons les termes en d₁ et d₂ en ajoutant 12 des deux côtés :
– 3d₁ + 4d₂ = – 12
Pour rendre les coefficients positifs, multiplions par –1 :
3d₁ – 4d₂ = 12 (équation 2)
────────────────────────────── 3) Résolution du système
Nous avons obtenu le système suivant de deux équations : (1) d₁ +
3d₂ = 17
(2) 3d₁ – 4d₂ = 12
Nous allons exprimer d₁ en fonction de d₂ d’après l’équation (1)
:
d₁ = 17 – 3d₂
Ensuite, remplaçons d₁ dans l’équation (2) :
3(17 – 3d₂) – 4d₂ = 12
Développons :
51 – 9d₂ – 4d₂ = 12
51 – 13d₂ = 12
Pour isoler d₂, soustrayons 51 de chaque côté :
– 13d₂ = 12 – 51
– 13d₂ = – 39
Divisons par – 13 :
d₂ = (–39) / (–13) = 3
Maintenant, substituons d₂ = 3 dans l’équation d₁ = 17 – 3d₂ :
d₁ = 17 – 3×3 = 17 – 9 = 8
────────────────────────────── 4) Vérification
Calculons l’aire initiale du losange :
A = (d₁ × d₂) / 2 = (8 × 3)/2 = 24/2 = 12 cm²
Première situation :
Nouvelle grande diagonale = 8 – 3 = 5 cm
Nouvelle petite diagonale = 3 – 1 = 2 cm
Nouvelle aire = (5 × 2)/2 = 10/2 = 5 cm²
Diminution d’aire = 12 – 5 = 7 cm² (correspond à l’énoncé)
Deuxième situation :
Nouvelle grande diagonale = 8 + 4 = 12 cm
Nouvelle petite diagonale = 3 – 3 = 0 cm
Nouvelle aire = (12 × 0)/2 = 0 cm²
Diminution d’aire = 12 – 0 = 12 cm² (correspond à l’énoncé)
────────────────────────────── Conclusion
Les dimensions du losange sont :
Grande diagonale d₁ = 8 cm
Petite diagonale d₂ = 3 cm
Ce résultat est entièrement cohérent avec les conditions du problème.