Exercice 3

Question :

1. Les diagonales d’un losange mesurent \(10\ \text{cm}\) et \(24\ \text{cm}\).

Quel est le périmètre et l’aire de ce losange ?

2. La diagonale d’un carré mesure \(14\ \text{cm}\).

Quel est le périmètre et l’aire de ce carré ?

Réponse

Réponse succincte :

1. Losange

• Aire : 120 cm²
• Périmètre : 52 cm

2. Carré

• Aire : 98 cm²
• Périmètre : 28√2 cm (≈39,6 cm)

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

a) Calcul du périmètre et de l’aire d’un losange

Énoncé : Les diagonales d’un losange mesurent \(10\ \text{cm}\) et \(24\ \text{cm}\).
Quel est le périmètre et l’aire de ce losange ?

Étapes de résolution :

1. Comprendre les propriétés du losange :
   • Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur.
   • Les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu à angle droit.
2. Calcul de l’aire du losange :

   • La formule de l’aire \(A\) d’un losange est donnée par : \[ A = \frac{d_1 \times d_2}{2} \] où \(d_1\) et \(d_2\) sont les longueurs des diagonales.

   • En remplaçant par les valeurs données : \[ A = \frac{10\ \text{cm} \times 24\ \text{cm}}{2} = \frac{240\ \text{cm}^2}{2} = 120\ \text{cm}^2 \]

3. Calcul de la longueur d’un côté du losange :

   • Les diagonales se coupent à angle droit, formant ainsi quatre triangles rectangles identiques.

   • La moitié de chaque diagonale est : \[ \frac{d_1}{2} = \frac{10\ \text{cm}}{2} = 5\ \text{cm} \] \[ \frac{d_2}{2} = \frac{24\ \text{cm}}{2} = 12\ \text{cm} \]

   • La longueur d’un côté \(c\) du losange peut être trouvée en utilisant le théorème de Pythagore dans l’un de ces triangles : \[ c = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\ \text{cm} \]

4. Calcul du périmètre du losange :
   • Le périmètre \(P\) est égal à quatre fois la longueur d’un côté : \[ P = 4 \times c = 4 \times 13\ \text{cm} = 52\ \text{cm} \]

Résultat : - Aire du losange : \(120\ \text{cm}^2\) - Périmètre du losange : \(52\ \text{cm}\)

---

b) Calcul du périmètre et de l’aire d’un carré

Énoncé : La diagonale d’un carré mesure \(14\ \text{cm}\).
Quel est le périmètre et l’aire de ce carré ?

Étapes de résolution :

1. Comprendre les propriétés du carré :
   • Un carré est un quadrilatère où tous les côtés sont de même longueur et où les angles sont droits.
   • Les diagonales d’un carré sont de même longueur et se coupent à angle droit.
2. Relation entre la diagonale et le côté du carré :
   • Si \(d\) est la diagonale et \(c\) la longueur du côté, alors selon le théorème de Pythagore : \[ d = c \sqrt{2} \]
   • On peut exprimer le côté en fonction de la diagonale : \[ c = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{14\ \text{cm}}{\sqrt{2}} = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}\ \text{cm} \] (rationalisation du dénominateur)
3. Calcul de l’aire du carré :
   • La formule de l’aire \(A\) d’un carré est : \[ A = c^2 \]
   • En remplaçant par la valeur de \(c\) : \[ A = (7\sqrt{2}\ \text{cm})^2 = 49 \times 2\ \text{cm}^2 = 98\ \text{cm}^2 \]
4. Calcul du périmètre du carré :
   • Le périmètre \(P\) est égal à quatre fois la longueur d’un côté : \[ P = 4 \times c = 4 \times 7\sqrt{2}\ \text{cm} = 28\sqrt{2}\ \text{cm} \] Si nécessaire, approximativement : \[ \sqrt{2} \approx 1,414 \implies P \approx 28 \times 1,414 \approx 39,6\ \text{cm} \]

Résultat : - Aire du carré : \(98\ \text{cm}^2\) - Périmètre du carré : \(28\sqrt{2}\ \text{cm}\) (approximativement \(39,6\ \text{cm}\))