Exprimez les nombres en puissances de 10, puis effectuez le calcul :
\(0{,}07 \cdot 3000 \cdot 0{,}002 \cdot 0{,}1 \cdot 50\)
\(0{,}06 \cdot 500\,000 \cdot 0{,}1 \cdot 30\,000 \cdot 0{,}002\)
\(0{,}025 \cdot 20 \cdot 0{,}3 \cdot 70\,000 \cdot 0{,}04\)
\(0{,}002 \cdot 100\,000 \cdot 2{,}5 \cdot 300 \cdot 0{,}3\)
\(2{,}5 \cdot 1\,200\,000 \cdot 0{,}0008 \cdot 2 \cdot 0{,}5\)
\(3000 \cdot 0{,}01 \cdot 20 \cdot 0{,}00003 \cdot 400\)
Les réponses des exercices sont :
Étape 1 : Exprimer chaque nombre en puissances de 10
\[ \begin{align*} 0{,}07 &= 7 \times 10^{-2} \\ 3000 &= 3 \times 10^{3} \\ 0{,}002 &= 2 \times 10^{-3} \\ 0{,}1 &= 1 \times 10^{-1} \\ 50 &= 5 \times 10^{1} \\ \end{align*} \]
Étape 2 : Remplacer les nombres dans l’expression
\[ 7 \times 10^{-2} \cdot 3 \times 10^{3} \cdot 2 \times 10^{-3} \cdot 1 \times 10^{-1} \cdot 5 \times 10^{1} \]
Étape 3 : Regrouper les coefficients et les puissances de 10
\[ (7 \times 3 \times 2 \times 1 \times 5) \times (10^{-2} \times 10^{3} \times 10^{-3} \times 10^{-1} \times 10^{1}) \]
Étape 4 : Calculer le produit des coefficients
\[ 7 \times 3 = 21 \\ 21 \times 2 = 42 \\ 42 \times 1 = 42 \\ 42 \times 5 = 210 \]
Étape 5 : Calculer le produit des puissances de 10
\[ 10^{-2 + 3 - 3 -1 +1} = 10^{-2 +3=1, 1 -3=-2, -2 -1=-3, -3 +1=-2} = 10^{-2} \]
Étape 6 : Multiplier les résultats
\[ 210 \times 10^{-2} = 210 \times 0{,}01 = 2{,}10 \]
Réponse : \(2{,}10\)
Étape 1 : Exprimer chaque nombre en puissances de 10
\[ \begin{align*} 0{,}06 &= 6 \times 10^{-2} \\ 500\,000 &= 5 \times 10^{5} \\ 0{,}1 &= 1 \times 10^{-1} \\ 30\,000 &= 3 \times 10^{4} \\ 0{,}002 &= 2 \times 10^{-3} \\ \end{align*} \]
Étape 2 : Remplacer les nombres dans l’expression
\[ 6 \times 10^{-2} \cdot 5 \times 10^{5} \cdot 1 \times 10^{-1} \cdot 3 \times 10^{4} \cdot 2 \times 10^{-3} \]
Étape 3 : Regrouper les coefficients et les puissances de 10
\[ (6 \times 5 \times 1 \times 3 \times 2) \times (10^{-2} \times 10^{5} \times 10^{-1} \times 10^{4} \times 10^{-3}) \]
Étape 4 : Calculer le produit des coefficients
\[ 6 \times 5 = 30 \\ 30 \times 1 = 30 \\ 30 \times 3 = 90 \\ 90 \times 2 = 180 \]
Étape 5 : Calculer le produit des puissances de 10
\[ 10^{-2 +5 -1 +4 -3} = 10^{-2 +5=3, 3 -1=2, 2 +4=6, 6 -3=3} = 10^{3} \]
Étape 6 : Multiplier les résultats
\[ 180 \times 10^{3} = 180 \times 1000 = 180\,000 \]
Réponse : \(180\,000\)
Étape 1 : Exprimer chaque nombre en puissances de 10
\[ \begin{align*} 0{,}025 &= 25 \times 10^{-3} \\ 20 &= 2 \times 10^{1} \\ 0{,}3 &= 3 \times 10^{-1} \\ 70\,000 &= 7 \times 10^{4} \\ 0{,}04 &= 4 \times 10^{-2} \\ \end{align*} \]
Étape 2 : Remplacer les nombres dans l’expression
\[ 25 \times 10^{-3} \cdot 2 \times 10^{1} \cdot 3 \times 10^{-1} \cdot 7 \times 10^{4} \cdot 4 \times 10^{-2} \]
Étape 3 : Regrouper les coefficients et les puissances de 10
\[ (25 \times 2 \times 3 \times 7 \times 4) \times (10^{-3} \times 10^{1} \times 10^{-1} \times 10^{4} \times 10^{-2}) \]
Étape 4 : Calculer le produit des coefficients
\[ 25 \times 2 = 50 \\ 50 \times 3 = 150 \\ 150 \times 7 = 1\,050 \\ 1\,050 \times 4 = 4\,200 \]
Étape 5 : Calculer le produit des puissances de 10
\[ 10^{-3 +1 -1 +4 -2} = 10^{-3 +1=-2, -2 -1=-3, -3 +4=1, 1 -2=-1} = 10^{-1} \]
Étape 6 : Multiplier les résultats
\[ 4\,200 \times 10^{-1} = 4\,200 \times 0{,}1 = 420 \]
Réponse : \(420\)
Étape 1 : Exprimer chaque nombre en puissances de 10
\[ \begin{align*} 0{,}002 &= 2 \times 10^{-3} \\ 100\,000 &= 1 \times 10^{5} \\ 2{,}5 &= 2{,}5 \times 10^{0} \\ 300 &= 3 \times 10^{2} \\ 0{,}3 &= 3 \times 10^{-1} \\ \end{align*} \]
Étape 2 : Remplacer les nombres dans l’expression
\[ 2 \times 10^{-3} \cdot 1 \times 10^{5} \cdot 2{,}5 \times 10^{0} \cdot 3 \times 10^{2} \cdot 3 \times 10^{-1} \]
Étape 3 : Regrouper les coefficients et les puissances de 10
\[ (2 \times 1 \times 2{,}5 \times 3 \times 3) \times (10^{-3} \times 10^{5} \times 10^{0} \times 10^{2} \times 10^{-1}) \]
Étape 4 : Calculer le produit des coefficients
\[ 2 \times 1 = 2 \\ 2 \times 2{,}5 = 5 \\ 5 \times 3 = 15 \\ 15 \times 3 = 45 \]
Étape 5 : Calculer le produit des puissances de 10
\[ 10^{-3 +5 +0 +2 -1} = 10^{-3 +5=2, 2 +0=2, 2 +2=4, 4 -1=3} = 10^{3} \]
Étape 6 : Multiplier les résultats
\[ 45 \times 10^{3} = 45 \times 1\,000 = 45\,000 \]
Réponse : \(45\,000\)
Étape 1 : Exprimer chaque nombre en puissances de 10
\[ \begin{align*} 2{,}5 &= 2{,}5 \times 10^{0} \\ 1\,200\,000 &= 1{,}2 \times 10^{6} \\ 0{,}0008 &= 8 \times 10^{-4} \\ 2 &= 2 \times 10^{0} \\ 0{,}5 &= 5 \times 10^{-1} \\ \end{align*} \]
Étape 2 : Remplacer les nombres dans l’expression
\[ 2{,}5 \times 10^{0} \cdot 1{,}2 \times 10^{6} \cdot 8 \times 10^{-4} \cdot 2 \times 10^{0} \cdot 5 \times 10^{-1} \]
Étape 3 : Regrouper les coefficients et les puissances de 10
\[ (2{,}5 \times 1{,}2 \times 8 \times 2 \times 5) \times (10^{0} \times 10^{6} \times 10^{-4} \times 10^{0} \times 10^{-1}) \]
Étape 4 : Calculer le produit des coefficients
\[ 2{,}5 \times 1{,}2 = 3 \\ 3 \times 8 = 24 \\ 24 \times 2 = 48 \\ 48 \times 5 = 240 \]
Étape 5 : Calculer le produit des puissances de 10
\[ 10^{0 +6 -4 +0 -1} = 10^{0 +6=6, 6 -4=2, 2 +0=2, 2 -1=1} = 10^{1} \]
Étape 6 : Multiplier les résultats
\[ 240 \times 10^{1} = 240 \times 10 = 2\,400 \]
Réponse : \(2\,400\)
Étape 1 : Exprimer chaque nombre en puissances de 10
\[ \begin{align*} 3000 &= 3 \times 10^{3} \\ 0{,}01 &= 1 \times 10^{-2} \\ 20 &= 2 \times 10^{1} \\ 0{,}00003 &= 3 \times 10^{-5} \\ 400 &= 4 \times 10^{2} \\ \end{align*} \]
Étape 2 : Remplacer les nombres dans l’expression
\[ 3 \times 10^{3} \cdot 1 \times 10^{-2} \cdot 2 \times 10^{1} \cdot 3 \times 10^{-5} \cdot 4 \times 10^{2} \]
Étape 3 : Regrouper les coefficients et les puissances de 10
\[ (3 \times 1 \times 2 \times 3 \times 4) \times (10^{3} \times 10^{-2} \times 10^{1} \times 10^{-5} \times 10^{2}) \]
Étape 4 : Calculer le produit des coefficients
\[ 3 \times 1 = 3 \\ 3 \times 2 = 6 \\ 6 \times 3 = 18 \\ 18 \times 4 = 72 \]
Étape 5 : Calculer le produit des puissances de 10
\[ 10^{3 -2 +1 -5 +2} = 10^{3 -2=1, 1 +1=2, 2 -5=-3, -3 +2=-1} = 10^{-1} \]
Étape 6 : Multiplier les résultats
\[ 72 \times 10^{-1} = 72 \times 0{,}1 = 7{,}2 \]
Réponse : \(7{,}2\)