Exercice 22

Dans un kilogramme de céréales, il y a environ 7 500 milliards de grains.

1. Exprimez ce nombre en écriture scientifique.

2. Une famille consomme en moyenne 3 kilogrammes de céréales par semaine. Calculez la quantité totale de grains consommés par la famille chaque semaine.

Réponse

1. 7 500 milliards s’écrit 7,5 × 10¹².

2. La famille consomme 2,25 × 10¹³ grains par semaine.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre cette question en deux parties en détaillant chaque étape.

────────────────────────────── Partie a) Exprimer le nombre en écriture scientifique

1. Le problème indique qu’il y a environ 7 500 milliards de grains dans un kilogramme de céréales.
   Rappel : 1 milliard = 10⁹, donc 7 500 milliards = 7 500 × 10⁹ grains.

2. Il faut écrire 7 500 en écriture scientifique. Pour cela, on écrit 7 500 = 7,5 × 10³
   (car en déplaçant la virgule de 7 500 on obtient 7,5 et on multiplie par 10³).

3. En combinant les deux écritures, on a :
   7 500 × 10⁹ = (7,5 × 10³) × 10⁹.

4. En utilisant la propriété des puissances (10³ × 10⁹ = 10^(3+9) = 10¹²), cela donne :
   7,5 × 10¹².

Donc, le nombre de grains par kilogramme de céréales en écriture scientifique est :
7,5 × 10¹².

────────────────────────────── Partie b) Calculer la quantité totale de grains consommés par la famille chaque semaine

1. Il est dit qu’une famille consomme en moyenne 3 kilogrammes de céréales par semaine.
   Chaque kilogramme contient 7,5 × 10¹² grains (d’après la partie a).

2. Pour trouver le nombre total de grains consommés en une semaine, on multiplie le nombre de grains dans 1 kg par 3 :
   Total de grains = 3 × (7,5 × 10¹²).

3. On réalise la multiplication des coefficients :
   3 × 7,5 = 22,5.

4. Ainsi, on obtient :
   Total de grains = 22,5 × 10¹².

5. Pour écrire ce résultat en écriture scientifique, il faut que le premier nombre soit compris entre 1 et 10.
   On peut donc écrire 22,5 comme 2,25 × 10¹.
   Alors : 22,5 × 10¹² = (2,25 × 10¹) × 10¹² = 2,25 × 10^(1+12) = 2,25 × 10¹³.

La famille consomme donc 2,25 × 10¹³ grains de céréales en une semaine.

────────────────────────────── Conclusion

1. En écriture scientifique, 7 500 milliards de grains s’écrit 7,5 × 10¹².
   
2. La quantité totale de grains consommés par la famille chaque semaine est 2,25 × 10¹³ grains.