Exercice 16

Quels nombres sont équivalents ?

0,0005	\(\frac{1}{10^{3}}\)	\(10^{1}\)	500	\(10^{5}\)	\(10^{-4}\)	\(10^{3}\)
2	\(10^{4}\)	0,00001	1,5	\(10^{-3}\)	\(\frac{1}{10^{-3}}\)	\(10^{-4}\)
\(\frac{1}{0,001}\)	\(10^{-2}\)	1000	20	\(100^{1}\)	\(\frac{1000}{10^{5}}\)	-20

Calcule et exprime le résultat en notation scientifique

1. \(8 \cdot 10^{19} + 2,5 \cdot 10^{21} =\)
   
2. \(\frac{5 \cdot 10^{8}}{10^{-2} \cdot 25} =\)
   
3. \(\frac{9 \cdot 10^{3} \cdot 12 \cdot 10^{8}}{24 \cdot 10^{5}} =\)
   
4. \(25000000 + 70 \cdot 10^{6} - 5 \cdot 10^{6} =\)
   
5. \(2,5 \cdot 10^{-6} - 1,5 \cdot 10^{-7} =\)

Réponse

Groupes d’équivalences : – 0,001 est équivalent à 1⁄10³ et 10⁻³ ; – 0,0001 est équivalent à 10⁻⁴ ; – 1000 est équivalent à 10³ et à 1⁄(10⁻³) ; – 0,01 est équivalent à 10⁻².

Calculs en notation scientifique : a) 2,58×10²¹
b) 2,0×10⁹
c) 4,5×10⁶
d) 9,0×10⁷
e) 2,35×10⁻⁶.

Corrigé détaillé

Nous allons traiter l’exercice en deux parties. La première partie consiste à regrouper les nombres qui représentent la même valeur, et la deuxième partie nous demande d’effectuer des calculs pour obtenir des résultats en notation scientifique.

────────────────────────────── I – Identifier les nombres équivalents

On vous présente un tableau avec différents nombres écrits sous diverses formes (décimaux, puissances de 10, fractions…). Pour vérifier si deux nombres sont équivalents, il faut transformer chaque expression dans la même notation (par exemple sous forme décimale) et comparer.

Voici le tableau avec les valeurs transformées :

Ligne 1 : 1. 0,0005 reste 0,0005 (c’est 5·10⁻⁴). 2. 1⁄10³ = 1⁄1000 = 0,001 (soit 1·10⁻³). 3. 10¹ = 10. 4. 500 = 500. 5. 10⁵ = 100000. 6. 10⁻⁴ = 0,0001. 7. 10³ = 1000.

Ligne 2 : 1. 2 = 2. 2. 10⁴ = 10000. 3. 0,00001 = 0,00001 (soit 1·10⁻⁵). 4. 1,5 = 1,5. 5. 10⁻³ = 0,001. 6. 1⁄10⁻³ : rappelons que diviser par 10⁻³ revient à multiplier par son inverse. Or 1⁄(10⁻³) = 10³ = 1000. 7. 10⁻⁴ = 0,0001.

Ligne 3 : 1. 1⁄0,001 = 1⁄(0,001) = 1000. 2. 10⁻² = 0,01. 3. 1000 = 1000. 4. 20 = 20. 5. 100¹ = 100. 6. 1000⁄10⁵ = 1000⁄100000 = 0,01. 7. -20 = -20.

Maintenant, regroupons les nombres équivalents :

• Le nombre 0,0005 (5·10⁻⁴) apparaît seulement en Ligne 1, colonne 1.

• Le nombre 0,001 (1·10⁻³) apparaît en :  – Ligne 1, colonne 2 (1⁄10³)  – Ligne 2, colonne 5 (10⁻³).

• Le nombre 10 apparaît en Ligne 1, colonne 3 uniquement.

• Le nombre 500 apparaît en Ligne 1, colonne 4 uniquement.

• Le nombre 100000 (10⁵) apparaît en Ligne 1, colonne 5 uniquement.

• Le nombre 0,0001 (10⁻⁴) apparaît en :  – Ligne 1, colonne 6  – Ligne 2, colonne 7.

• Le nombre 1000 (10³) apparaît en :  – Ligne 1, colonne 7,  – Ligne 2, colonne 6 (1⁄(10⁻³)),  – Ligne 3, colonne 1,  – Ligne 3, colonne 3.

• Le nombre 2 apparaît en Ligne 2, colonne 1 uniquement.

• Le nombre 10000 (10⁴) apparaît en Ligne 2, colonne 2 uniquement.

• Le nombre 0,00001 (1·10⁻⁵) apparaît en Ligne 2, colonne 3 uniquement.

• Le nombre 1,5 apparaît en Ligne 2, colonne 4 uniquement.

• Le nombre 0,01 (10⁻²) apparaît en :  – Ligne 3, colonne 2  – Ligne 3, colonne 6.

• Le nombre 20 apparaît en Ligne 3, colonne 4 uniquement.

• Le nombre 100 apparaît en Ligne 3, colonne 5 uniquement.

• Le nombre -20 apparaît en Ligne 3, colonne 7 uniquement.

Ainsi, les groupes d’équivalences sont :

1. 0,001 ≡ 1⁄10³ et 10⁻³ (Ligne 1, col.2 et Ligne 2, col.5).
2. 0,0001 ≡ 10⁻⁴ (Ligne 1, col.6 et Ligne 2, col.7).
3. 1000 ≡ 10³, 1⁄(10⁻³) (Ligne 1, col.7 ; Ligne 2, col.6 ; Ligne 3, col.1 et col.3).
4. 0,01 ≡ 10⁻² (Ligne 3, col.2 et Ligne 3, col.6).

Les autres nombres n’ont pas d’équivalent dans le tableau, ils sont seuls dans leur case.

────────────────────────────── II – Calculs et écriture du résultat en notation scientifique

Nous allons maintenant résoudre chacune des opérations demandées en détaillant les étapes.

────────────────────────────── a) 8·10¹⁹ + 2,5·10²¹

1. Pour additionner des nombres en écriture scientifique, il faut que les puissances de 10 soient identiques. Ici, les exposants sont 19 et 21. Transformons 2,5·10²¹ en écriture ayant 10¹⁹ :   2,5·10²¹ = 2,5·(10²·10¹⁹) = (2,5×10²)·10¹⁹ = 250·10¹⁹.
2. On a alors :   8·10¹⁹ + 250·10¹⁹ = (8 + 250)·10¹⁹ = 258·10¹⁹.
3. Pour rédiger en notation scientifique, il faut un nombre entre 1 et 10 en facteur :   258 = 2,58×10².
4. Donc :   258·10¹⁹ = 2,58×10²·10¹⁹ = 2,58×10^(2+19) = 2,58×10²¹.

Réponse a) : 2,58×10²¹.

────────────────────────────── b) (5·10⁸) / (10⁻²·25)

1. Calculez le dénominateur :   10⁻²·25 = 25×10⁻².
2. L’opération devient :   (5·10⁸) / (25×10⁻²).
3. Divisez d’abord les coefficients :   5 / 25 = 0,2.
4. Ensuite, appliquez la règle sur les puissances de 10 :   10⁸ / 10⁻² = 10^(8 - (−2)) = 10^(8 + 2) = 10¹⁰.
5. On a ainsi :   0,2×10¹⁰.
6. Pour écrire en notation scientifique, 0,2 n’étant pas compris entre 1 et 10, on écrit :   0,2 = 2,0×10⁻¹.
7. Donc :   2,0×10⁻¹×10¹⁰ = 2,0×10^(10−1) = 2,0×10⁹.

Réponse b) : 2,0×10⁹.

────────────────────────────── c) (9·10³ × 12·10⁸) / (24·10⁵)

1. Tout d’abord, multiplions les nombres du numérateur :   Coefficient : 9×12 = 108.   Puissances de 10 : 10³×10⁸ = 10^(3+8) = 10¹¹.   Donc le numérateur = 108·10¹¹.
2. Le dénominateur est : 24·10⁵.
3. La division s’effectue en divisant les coefficients et en soustrayant les exposants :   Coefficient : 108 / 24 = 4,5 (puisque 24×4,5 = 108).   Puissances : 10^(11) / 10^(5) = 10^(11−5) = 10⁶.
4. On obtient :   4,5·10⁶.
5. Le résultat est déjà en notation scientifique.

Réponse c) : 4,5×10⁶.

────────────────────────────── d) 25000000 + 70·10⁶ − 5·10⁶

1. Il est préférable d’exprimer tous les nombres sous forme de puissances de 10. Notons :   25000000 = 25×10⁶ (car 25×1 000 000 = 25 000 000),   70·10⁶ = 70×10⁶,   5·10⁶ = 5×10⁶.
2. L’addition devient :   25×10⁶ + 70×10⁶ − 5×10⁶ = (25 + 70 − 5)×10⁶ = 90×10⁶.
3. Pour que le coefficient soit entre 1 et 10 en notation scientifique, on écrit :   90 = 9,0×10¹.
4. Donc :   90×10⁶ = 9,0×10¹×10⁶ = 9,0×10^(1+6) = 9,0×10⁷.

Réponse d) : 9,0×10⁷.

────────────────────────────── e) 2,5·10⁻⁶ − 1,5·10⁻⁷

1. Pour soustraire, les puissances de 10 doivent être identiques. Choisissons 10⁻⁶ :   2,5·10⁻⁶ est déjà en écriture voulue.   1,5·10⁻⁷ = 0,15·10⁻⁶ (car 1,5·10⁻⁷ = 1,5/10·10⁻⁶ = 0,15·10⁻⁶).
2. La soustraction devient :   (2,5 − 0,15)·10⁻⁶ = 2,35·10⁻⁶.
3. Le résultat est déjà en notation scientifique.

Réponse e) : 2,35×10⁻⁶.

────────────────────────────── Conclusion

• Les nombres équivalents dans le tableau se regroupent ainsi :  – 0,001 est équivalent à 1⁄10³ et 10⁻³.  – 0,0001 est équivalent à 10⁻⁴.  – 1000 est équivalent à 10³ et 1⁄(10⁻³).  – 0,01 est équivalent à 10⁻².  Les autres nombres n’ont pas d’équivalents dans le tableau.

• Les résultats des calculs en notation scientifique sont :  a) 2,58×10²¹  b) 2,0×10⁹  c) 4,5×10⁶  d) 9,0×10⁷  e) 2,35×10⁻⁶

Chaque étape a été expliquée pour que vous puissiez suivre le raisonnement et bien comprendre la transformation et les opérations en écriture scientifique.