La somme des masses des lunes est-elle supérieure à celle de la Terre \(\left(6 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}\right)\) ?
Saturne est la plus grosse lune de son système. La somme des rayons des autres lunes est-elle supérieure au rayon de Saturne ?
| Lune | Masse \((\mathrm{kg})\) | Rayon \((\mathrm{km})\) |
|---|---|---|
| Titan | \(1.35 \times 10^{23}\) | 2576 |
| Ganymède | \(1.48 \times 10^{23}\) | 2634 |
| Callisto | \(1.08 \times 10^{23}\) | 2410 |
| Io | \(8.93 \times 10^{22}\) | 1821 |
| Europe | \(4.80 \times 10^{22}\) | 1560 |
| Encelade | \(1.08 \times 10^{20}\) | 252 |
| Triton | \(2.14 \times 10^{22}\) | 1353 |
| Mimas | \(3.75 \times 10^{19}\) | 198 |
Non, la somme des masses des lunes (≈5,51×10^23 kg) est inférieure à la masse de la Terre (6×10^24 kg).
Oui, la somme des rayons des autres lunes (10170 km) dépasse le rayon de la plus grosse (2634 km).
Nous allons répondre en deux parties en utilisant les données du tableau.
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1) Calcul de la somme des masses des lunes par rapport à la masse de la
Terre
La masse de la Terre est donnée : 6 × 10^24 kg.
Les lunes et leurs masses sont :
• Titan : 1,35 × 10^23 kg
• Ganymède : 1,48 × 10^23 kg
• Callisto : 1,08 × 10^23 kg
• Io : 8,93 × 10^22 kg
• Europe : 4,80 × 10^22 kg
• Encelade : 1,08 × 10^20 kg
• Triton : 2,14 × 10^22 kg
• Mimas : 3,75 × 10^19 kg
Pour faciliter le calcul, nous pouvons exprimer toutes les masses en 10^22 kg :
• Titan : 1,35 × 10^23 = 13,5 × 10^22 kg
• Ganymède : 1,48 × 10^23 = 14,8 × 10^22 kg
• Callisto : 1,08 × 10^23 = 10,8 × 10^22 kg
• Io : 8,93 × 10^22 kg
• Europe : 4,80 × 10^22 kg
• Triton : 2,14 × 10^22 kg
• Encelade : 1,08 × 10^20 kg = 0,108 × 10^22 kg
• Mimas : 3,75 × 10^19 kg = 0,0375 × 10^22 kg
Additionnons ces valeurs :
– Somme des grandes masses :
13,5 + 14,8 = 28,3
28,3 + 10,8 = 39,1
39,1 + 8,93 = 48,03
48,03 + 4,80 = 52,83
52,83 + 2,14 = 54,97
– Ajouter les contributions de Encelade et Mimas :
54,97 + 0,108 = 55,078
55,078 + 0,0375 ≈ 55,1155
La somme totale des masses est donc environ 55,1 × 10^22 kg, ce qui s’écrit aussi 5,51 × 10^23 kg.
Pour comparer avec la masse de la Terre (6 × 10^24 kg), remarquons
que :
6 × 10^24 kg = 60 × 10^23 kg.
On voit donc que 5,51 × 10^23 kg est beaucoup plus petit que 60 × 10^23 kg.
Conclusion partie (a) : La somme des masses des lunes n’est pas supérieure à celle de la Terre.
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2) Comparaison de la somme des rayons des autres lunes avec le rayon de
la plus grosse
La phrase du problème indique :
« Saturne est la plus grosse lune de son système. La somme des rayons
des autres lunes est-elle supérieure au rayon de Saturne ? »
Cependant, en regardant le tableau, on remarque que parmi les lunes listées, la plus grande en rayon est Ganymède (2634 km) et non Titan (2576 km) qui est la plus grosse lune du système de Saturne. Pour répondre à la question, nous considérons que l’énoncé voulait comparer le rayon de la plus grosse lune du système (c’est-à-dire Ganymède) avec la somme des rayons des autres lunes du tableau.
Les rayons donnés (en km) sont :
• Ganymède : 2634
• Titan : 2576
• Callisto : 2410
• Io : 1821
• Europe : 1560
• Triton : 1353
• Encelade : 252
• Mimas : 198
Nous excluons la plus grosse (Ganymède) et additionnons les rayons des autres lunes :
• Titan + Callisto = 2576 + 2410 = 4986
• Ajouter Io : 4986 + 1821 = 6807
• Ajouter Europe : 6807 + 1560 = 8367
• Ajouter Triton : 8367 + 1353 = 9720
• Ajouter Encelade : 9720 + 252 = 9972
• Ajouter Mimas : 9972 + 198 = 10170
La somme totale des rayons des autres lunes est donc 10170 km.
On compare maintenant cette somme avec le rayon de la plus grande lune, Ganymède, qui est de 2634 km.
10170 km est clairement supérieur à 2634 km.
Conclusion partie (b) : La somme des rayons des autres lunes est bien supérieure au rayon de la plus grosse lune.
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Réponses finales :
Non, la somme des masses des lunes (≈ 5,51 × 10^23 kg) est bien inférieure à la masse de la Terre (6 × 10^24 kg).
Oui, la somme des rayons des autres lunes (10170 km) est supérieure au rayon de la plus grosse (2634 km).