Exercice 7

Question : Calculez les expressions suivantes et donnez le résultat sous forme scientifique.

\[ \begin{aligned} A &= 5 \cdot 10^{3} + 4 \cdot 10^{1} + 7 \cdot 10^{0} \\ B &= \frac{8 \cdot 10^{11} \cdot 20 \cdot 10^{7}}{10 \cdot \left(10^{4}\right)^{2}} \\ C &= \frac{4 \cdot 10^{4} - 5 \cdot 10^{2}}{5 \cdot 10^{2}} \\ D &= \frac{36 \cdot \left(10^{4}\right)^{3} \cdot 18 \cdot 10^{8}}{54 \cdot 10^{19}} \\ E &= \frac{3 \cdot 10^{3} - 9}{3,6 \cdot 10^{2} + 2} \end{aligned} \]

Réponse

A = 5,047 · 10^3
B = 1,6 · 10^11
C = 7,9 · 10^1
D = 1,2 · 10^2
E ≈ 8,26 · 10^0

Corrigé détaillé

Nous allons traiter chacune des expressions pas à pas et présenter le résultat final en écriture scientifique.

────────────────────────────── A) Calcul de A

L’expression est :
  A = 5 · 10^3 + 4 · 10^1 + 7 · 10^0

1. Calculons chaque terme :
     • 10^3 = 1000  donc 5 · 10^3 = 5 · 1000 = 5000
     • 10^1 = 10  donc 4 · 10^1 = 4 · 10 = 40
     • 10^0 = 1  donc 7 · 10^0 = 7 · 1 = 7

2. Additionnons les résultats :
     5000 + 40 + 7 = 5047

3. Mise sous forme scientifique :
   On écrit 5047 sous la forme a · 10^n avec 1 ≤ a < 10.
     5047 = 5,047 × 10^3

────────────────────────────── B) Calcul de B

L’expression est :
  B = (8 · 10^11 · 20 · 10^7) / [10 · (10⁴⁾2]

1. Simplification du numérateur :
     • Les coefficients : 8 × 20 = 160
     • Les puissances de 10 : 10^11 · 10^7 = 10^(11+7) = 10^18
     Donc, le numérateur devient 160 · 10^18.

2. Simplification du dénominateur :
     • (10⁴⁾2 = 10^(4×2) = 10^8
     • Ensuite, 10 · 10^8 = 10^(1+8) = 10^9

3. Rédaction de l’expression :
     B = (160 · 10^18) / (10^9) = 160 · 10^(18−9) = 160 · 10^9

4. Expression en écriture scientifique :
     160 peut s’écrire comme 1,6 · 10^2.
     Ainsi, 160 · 10^9 = 1,6 · 10^2 · 10^9 = 1,6 · 10^(2+9) = 1,6 · 10^11

────────────────────────────── C) Calcul de C

L’expression est :
  C = (4 · 10^4 – 5 · 10^2) / (5 · 10^2)

1. Calcul du numérateur :
     • 4 · 10^4 = 4 · 10000 = 40000
     • 5 · 10^2 = 5 · 100 = 500
     Donc, 40000 – 500 = 39500

2. Le dénominateur est :
     5 · 10^2 = 500

3. Division :
     39500 / 500 = 79

4. Mise sous forme scientifique :
     79 s’écrit sous la forme 7,9 · 10^1

────────────────────────────── D) Calcul de D

L’expression est :
  D = [36 · (10⁴⁾3 · 18 · 10^8] / [54 · 10^19]

1. Simplification des puissances :
     • (10⁴⁾3 = 10^(4×3) = 10^12
     • On a alors dans le numérateur 36 · 18 · 10^(12+8) = 36 · 18 · 10^20

2. Calcul du produit des coefficients du numérateur :
     36 × 18 = 648

3. L’expression devient :
     D = (648 · 10^20) / (54 · 10^19)

4. Simplification des coefficients et des puissances :
     • Les coefficients : 648 / 54 = 12
     • Les puissances : 10^(20) / 10^(19) = 10^(20−19) = 10^1
     Donc, D = 12 · 10^1 = 120

5. Mise sous forme scientifique :
     120 s’écrit sous la forme 1,2 · 10^2

────────────────────────────── E) Calcul de E

L’expression est :
  E = (3 · 10^3 − 9) / (3,6 · 10^2 + 2)

1. Calcul du numérateur :
     3 · 10^3 = 3 · 1000 = 3000
     Donc, 3000 − 9 = 2991

2. Calcul du dénominateur :
     3,6 · 10^2 = 3,6 · 100 = 360
     Donc, 360 + 2 = 362

3. Division :
     E = 2991 / 362
   Pour effectuer la division, on peut remarquer que :
     362 × 8 = 2896
     La différence est 2991 − 2896 = 95
     Ainsi, 2991 / 362 = 8 + (95 / 362) ≈ 8 + 0,262 = 8,262
   On arrondira à trois chiffres significatifs, soit environ 8,26.

4. Écriture scientifique :
     8,26 peut être écrit sous la forme 8,26 · 10^0
   (Remarque : multiplier par 10^0 ne change rien.)

────────────────────────────── Récapitulatif des résultats en écriture scientifique :

A = 5,047 · 10^3
B = 1,6 · 10^11
C = 7,9 · 10^1
D = 1,2 · 10^2
E ≈ 8,26 · 10^0

Ainsi, nous avons trouvé les résultats en détaillant chaque étape de calcul.