Exercice 6

Écrire à l’aide des puissances de 10, puis effectuer le calcul :

1. \(2000 \cdot 0{,}03 \cdot 40 \cdot 0{,}00002 \cdot 10\)

2. \(0{,}1 \cdot 300 \cdot 0{,}006 \cdot 30 \cdot 0{,}2\)

3. \(50 \cdot 0{,}02 \cdot 3000 \cdot 0{,}2 \cdot 70\)

4. \(0{,}01 \cdot 50 \cdot 0{,}2 \cdot 600 \cdot 0{,}0008\)

5. \(4000 \cdot 0{,}3 \cdot 70 \cdot 0{,}02 \cdot 2{,}5\)

6. \(0{,}6 \cdot 500 \cdot 0{,}25 \cdot 30 \cdot 0{,}004\)

Réponse

Réponses des Exercices

1. Exercice 1 : \(0{,}48\)
2. Exercice 2 : \(1{,}08\)
3. Exercice 3 : \(42\,000\)
4. Exercice 4 : \(0{,}048\)
5. Exercice 5 : \(4\,200\)
6. Exercice 6 : \(9\)

Corrigé détaillé

Correction des Exercices

Exercice 1

Question : \[2000 \cdot 0{,}03 \cdot 40 \cdot 0{,}00002 \cdot 10\]

Correction :

1. Écriture en puissances de 10 :

   • \(2000 = 2 \times 10^{3}\)
     
   • \(0{,}03 = 3 \times 10^{-2}\)
     
   • \(40 = 4 \times 10^{1}\)
     
   • \(0{,}00002 = 2 \times 10^{-5}\)
     
   • \(10 = 1 \times 10^{1}\)

2. Remplacement dans l’expression :

   \[ (2 \times 10^{3}) \cdot (3 \times 10^{-2}) \cdot (4 \times 10^{1}) \cdot (2 \times 10^{-5}) \cdot (1 \times 10^{1}) \]

3. Regroupement des coefficients et des puissances de 10 :

   • Coefficients : \(2 \times 3 \times 4 \times 2 \times 1 = 48\)
     
   • Puissances de 10 : \(10^{3} \times 10^{-2} \times 10^{1} \times 10^{-5} \times 10^{1} = 10^{(3 - 2 + 1 - 5 + 1)} = 10^{-2}\)

4. Multiplication des résultats :

   \[ 48 \times 10^{-2} = 48 \times 0{,}01 = 0{,}48 \]

Réponse : \(0{,}48\)

---

Exercice 2

Question : \[0{,}1 \cdot 300 \cdot 0{,}006 \cdot 30 \cdot 0{,}2\]

Correction :

1. Écriture en puissances de 10 :

   • \(0{,}1 = 1 \times 10^{-1}\)
     
   • \(300 = 3 \times 10^{2}\)
     
   • \(0{,}006 = 6 \times 10^{-3}\)
     
   • \(30 = 3 \times 10^{1}\)
     
   • \(0{,}2 = 2 \times 10^{-1}\)

2. Remplacement dans l’expression :

   \[ (1 \times 10^{-1}) \cdot (3 \times 10^{2}) \cdot (6 \times 10^{-3}) \cdot (3 \times 10^{1}) \cdot (2 \times 10^{-1}) \]

3. Regroupement des coefficients et des puissances de 10 :

   • Coefficients : \(1 \times 3 \times 6 \times 3 \times 2 = 108\)
     
   • Puissances de 10 : \(10^{-1} \times 10^{2} \times 10^{-3} \times 10^{1} \times 10^{-1} = 10^{(-1 + 2 -3 +1 -1)} = 10^{-2}\)

4. Multiplication des résultats :

   \[ 108 \times 10^{-2} = 108 \times 0{,}01 = 1{,}08 \]

Réponse : \(1{,}08\)

---

Exercice 3

Question : \[50 \cdot 0{,}02 \cdot 3000 \cdot 0{,}2 \cdot 70\]

Correction :

1. Écriture en puissances de 10 :

   • \(50 = 5 \times 10^{1}\)
     
   • \(0{,}02 = 2 \times 10^{-2}\)
     
   • \(3000 = 3 \times 10^{3}\)
     
   • \(0{,}2 = 2 \times 10^{-1}\)
     
   • \(70 = 7 \times 10^{1}\)

2. Remplacement dans l’expression :

   \[ (5 \times 10^{1}) \cdot (2 \times 10^{-2}) \cdot (3 \times 10^{3}) \cdot (2 \times 10^{-1}) \cdot (7 \times 10^{1}) \]

3. Regroupement des coefficients et des puissances de 10 :

   • Coefficients : \(5 \times 2 \times 3 \times 2 \times 7 = 420\)
     
   • Puissances de 10 : \(10^{1} \times 10^{-2} \times 10^{3} \times 10^{-1} \times 10^{1} = 10^{(1 -2 +3 -1 +1)} = 10^{2}\)

4. Multiplication des résultats :

   \[ 420 \times 10^{2} = 420 \times 100 = 42\,000 \]

Réponse : \(42\,000\)

---

Exercice 4

Question : \[0{,}01 \cdot 50 \cdot 0{,}2 \cdot 600 \cdot 0{,}0008\]

Correction :

1. Écriture en puissances de 10 :

   • \(0{,}01 = 1 \times 10^{-2}\)
     
   • \(50 = 5 \times 10^{1}\)
     
   • \(0{,}2 = 2 \times 10^{-1}\)
     
   • \(600 = 6 \times 10^{2}\)
     
   • \(0{,}0008 = 8 \times 10^{-4}\)

2. Remplacement dans l’expression :

   \[ (1 \times 10^{-2}) \cdot (5 \times 10^{1}) \cdot (2 \times 10^{-1}) \cdot (6 \times 10^{2}) \cdot (8 \times 10^{-4}) \]

3. Regroupement des coefficients et des puissances de 10 :

   • Coefficients : \(1 \times 5 \times 2 \times 6 \times 8 = 480\)
     
   • Puissances de 10 : \(10^{-2} \times 10^{1} \times 10^{-1} \times 10^{2} \times 10^{-4} = 10^{(-2 +1 -1 +2 -4)} = 10^{-4}\)

4. Multiplication des résultats :

   \[ 480 \times 10^{-4} = 480 \times 0{,}0001 = 0{,}048 \]

Réponse : \(0{,}048\)

---

Exercice 5

Question : \[4000 \cdot 0{,}3 \cdot 70 \cdot 0{,}02 \cdot 2{,}5\]

Correction :

1. Écriture en puissances de 10 :

   • \(4000 = 4 \times 10^{3}\)
     
   • \(0{,}3 = 3 \times 10^{-1}\)
     
   • \(70 = 7 \times 10^{1}\)
     
   • \(0{,}02 = 2 \times 10^{-2}\)
     
   • \(2{,}5 = 2{,}5 \times 10^{0}\) (car \(10^{0} = 1\))

2. Remplacement dans l’expression :

   \[ (4 \times 10^{3}) \cdot (3 \times 10^{-1}) \cdot (7 \times 10^{1}) \cdot (2 \times 10^{-2}) \cdot (2{,}5 \times 10^{0}) \]

3. Regroupement des coefficients et des puissances de 10 :

   • Coefficients : \(4 \times 3 \times 7 \times 2 \times 2{,}5 = 420\)
     
   • Puissances de 10 : \(10^{3} \times 10^{-1} \times 10^{1} \times 10^{-2} \times 10^{0} = 10^{(3 -1 +1 -2 +0)} = 10^{1}\)

4. Multiplication des résultats :

   \[ 420 \times 10^{1} = 420 \times 10 = 4\,200 \]

Réponse : \(4\,200\)

---

Exercice 6

Question : \[0{,}6 \cdot 500 \cdot 0{,}25 \cdot 30 \cdot 0{,}004\]

Correction :

1. Écriture en puissances de 10 :

   • \(0{,}6 = 6 \times 10^{-1}\)
     
   • \(500 = 5 \times 10^{2}\)
     
   • \(0{,}25 = 25 \times 10^{-2} = 2{,}5 \times 10^{-1}\)
     
   • \(30 = 3 \times 10^{1}\)
     
   • \(0{,}004 = 4 \times 10^{-3}\)

2. Remplacement dans l’expression :

   \[ (6 \times 10^{-1}) \cdot (5 \times 10^{2}) \cdot (2{,}5 \times 10^{-1}) \cdot (3 \times 10^{1}) \cdot (4 \times 10^{-3}) \]

3. Regroupement des coefficients et des puissances de 10 :

   • Coefficients : \(6 \times 5 \times 2{,}5 \times 3 \times 4 = 900\)
     
   • Puissances de 10 : \(10^{-1} \times 10^{2} \times 10^{-1} \times 10^{1} \times 10^{-3} = 10^{(-1 +2 -1 +1 -3)} = 10^{-2}\)

4. Multiplication des résultats :

   \[ 900 \times 10^{-2} = 900 \times 0{,}01 = 9 \]

Réponse : \(9\)