Exercice 1

Question : Complète avec le signe \(=\) ou \(\neq\). Justifie ta réponse.

1. \(0,\overline{6} \quad \_ \quad \frac{2}{3}\) car _____

2. \(\frac{14}{7} \quad \_ \quad 1\) car _____

3. \(\frac{5}{8} \quad \_ \quad 0,\overline{5}\) car _____

4. \(0,\overline{5} \quad \_ \quad \frac{1}{2}\) car _____

1. Calcule.

   1. \(4^{3} - 4^{1} =\)

   2. \(\sqrt{144} =\)

   3. \((-5)^{2} =\)

   4. \(\sqrt{-16} =\)

   5. \(\left(\frac{2}{7}\right)^{3} =\)

   6. \(\sqrt[3]{-64} =\)

   7. \(10^{-3} =\)

   8. \(10^{5} \cdot 10^{-2} =\)

2. Écris, si possible, sous forme d’une puissance.

   1. \(4 + 4 + 4 + 4 + 4 =\)

   2. \(2^{6} \cdot 2^{3} =\)

   3. \((-4)^{2} + (-4)^{2} =\)

   4. \(5^{5} \cdot 3^{5} =\)

   5. \(15^{7} \div 15^{2} =\)

   6. \(\left(16^{3}\right)^{4} =\)

3. Écris en notation scientifique.

   1. \(75\,300\,000 =\)

   2. \(92 \cdot 10^{5} =\)

   3. \(-250\,000\,000 =\)

   4. \(0,000045 =\)

4. Un arbre pousse d’en moyenne 30 centimètres par an. Combien d’années mettra-t-il pour atteindre 15 mètres de hauteur ? Donne la réponse en notation scientifique.

Réponse

Exercice 1 – Comparaisons : a) 0,‾6 = 2/3
b) 14/7 ≠ 1
c) 5/8 ≠ 0,‾5
d) 0,‾5 ≠ 1/2

Exercice 2 – Que sais-je ?

1. Calculs :

1. 60
   
2. 12
   
3. 25
   
4. √(–16) n’est pas défini dans ℝ (ou 4i en ℂ)
   
5. 8/343
   
6. –4
   
7. 0,001
   
8. 1000

2. Expression sous forme de puissance :

1. 20
   
2. 2⁹
   
3. 32 (soit 2⁵)
   
4. 15⁵
   
5. 15⁵
   
6. 16¹²

3. Notation scientifique :

1. 7,53 × 10⁷
   
2. 9,2 × 10⁶
   
3. –2,5 × 10⁸
   
4. 4,5 × 10^(–5)

4. Croissance d’un arbre : L’arbre atteindra 15 m en 50 ans, c’est-à-dire 5,0 × 10¹ ans.

Corrigé détaillé

Voici la correction complète avec explications détaillées :

────────────────────────────── Exercice 1 – Compléter avec le signe = ou ≠ et justifier :

1. 0,‾6  _  2/3
    • Le nombre 0,‾6 signifie 0,6666… (le 6 se répète).
    • Pour montrer que 0,6666… = 2/3, on peut se souvenir que 2 divisé par 3 donne exactement 0,6666…
    Donc, 0,‾6 = 2/3.

2. 14/7  _  1
    • On calcule 14/7. Comme 14 divisé par 7 donne 2, on a 14/7 = 2.
    • Or, 2 ≠ 1.
    Donc, 14/7 ≠ 1.

3. 5/8  _  0,‾5
    • On calcule 5/8. La division donne 0,625.
    • Le nombre 0,‾5 représente 0,5555… (le 5 se répète).
    • Comme 0,625 et 0,5555… sont différents,
    Donc, 5/8 ≠ 0,‾5.

4. 0,‾5  _  1/2
    • 0,‾5 signifie 0,5555…
    • On sait que 1/2 = 0,5.
    • Puisque 0,5555… n’est pas égal à 0,5,
    Donc, 0,‾5 ≠ 1/2.

────────────────────────────── Exercice 2 – Que sais-je ?

1. Calcule :

1. 4³ – 4¹
    • 4³ = 4 × 4 × 4 = 64
    • 4¹ = 4
    • Donc, 64 – 4 = 60

2. √144
    • 12 × 12 = 144
    • Donc, √144 = 12

3. (–5)²
    • (–5) × (–5) = 25
    • Donc, (–5)² = 25

4. √(–16)
    • Aucun nombre réel, lorsqu’il est multiplié par lui-même, ne donne –16.
    • On dira donc que √(–16) n’est pas défini dans ℝ. (Si l’on travaille dans ℂ, √(–16) = 4i.)

5. (2/7)³
    • (2/7)³ = (2³)/(7³) = 8/343

6. ∛(–64)
    • On cherche un nombre qui, multiplié trois fois par lui-même, donne –64.
    • (–4) × (–4) × (–4) = –64
    • Donc, ∛(–64) = –4

7. 10^(–3)
    • 10^(–3) = 1/(10³) = 1/1000 = 0,001

8. 10⁵ × 10^(–2)
    • En utilisant la propriété des exposants : 10⁵ × 10^(–2) = 10^(5–2) = 10³ = 1000

────────────────────────────── 2. Écris, si possible, sous forme d’une puissance :

1. 4 + 4 + 4 + 4 + 4
    • Il s’agit de 5 fois 4, donc : 5 × 4 = 20
    • Ici, 20 ne peut pas s’exprimer directement sous la forme d’une puissance d’un entier de manière évidente.

2. 2⁶ × 2³
    • Lorsque l’on multiplie des puissances de même base, on additionne les exposants : 2^(6+3) = 2⁹

3. (–4)² + (–4)²
    • Chaque (–4)² = 16, donc la somme vaut 16 + 16 = 32
    • De plus, on peut écrire 32 sous forme de puissance en remarquant que 32 = 2⁵.

4. 5⁵ × 3⁵
    • On peut mettre en facteur l’exposant commun : (5 × 3)⁵ = 15⁵

5. 15⁷ ÷ 15²
    • Pour diviser des puissances de même base, on soustrait les exposants : 15^(7–2) = 15⁵

6. (16³)⁴
    • Lorsqu’on élève une puissance à une autre, on multiplie les exposants : 16^(3×4) = 16¹²

────────────────────────────── 3. Écris en notation scientifique :

1. 75 300 000
    • Pour écrire ce nombre sous forme a × 10^n avec 1 ≤ a < 10, on place la virgule après le premier chiffre non nul : 7,53
    • Le nombre 75 300 000 s’écrit donc 7,53 × 10⁷

2. 92 × 10⁵
    • On écrit 92 sous forme décimale en décalant la virgule : 92 = 9,2 × 10
    • Alors, 92 × 10⁵ = (9,2 × 10) × 10⁵ = 9,2 × 10^(1+5) = 9,2 × 10⁶

3. –250 000 000
    • En plaçant la virgule après le premier chiffre, on a –2,5
    • Pour retrouver –250 000 000, on écrit –2,5 × 10⁸

4. 0,000045
    • Il faut placer la virgule après le premier chiffre non nul : 4,5
    • Pour obtenir 0,000045, il faut multiplier par 10^(–5), donc : 4,5 × 10^(–5)

────────────────────────────── 4. Problème – Croissance d’un arbre :

L’énoncé indique qu’un arbre pousse de 30 centimètres par an et qu’il faut atteindre 15 mètres de hauteur.

Étape 1 : Uniformiser les unités
 • 1 m = 100 cm, donc 15 m = 15 × 100 = 1500 cm

Étape 2 : Calculer le nombre d’années
 • Chaque année, l’arbre grandit de 30 cm
 • Le nombre d’années nécessaires est donc : 1500 ÷ 30 = 50

Étape 3 : Écrire en notation scientifique
 • 50 s’exprime en notation scientifique sous la forme 5,0 × 10¹

────────────────────────────── Résumé des réponses :

Exercice 1 – Comparaisons
a) 0,‾6 = 2/3  (car 0,6666… = 2 ÷ 3)
b) 14/7 ≠ 1  (car 14/7 = 2 et 2 ≠ 1)
c) 5/8 ≠ 0,‾5  (car 5/8 = 0,625 et 0,625 ≠ 0,5555…)
d) 0,‾5 ≠ 1/2  (car 0,‾5 = 0,5555… et 1/2 = 0,5)

Exercice 2 – Que sais-je ?

1. 1. 60
        b) 12
        c) 25
        d) √(–16) n’est pas défini dans ℝ (ou 4i si on travaille dans ℂ)
        e) 8/343
        f) –4
        g) 0,001
        h) 1000
2. 1. 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
        b) 2⁹
        c) 32 ou 2⁵
        d) 15⁵
        e) 15⁵
        f) 16¹²
3. 1. 7,53 × 10⁷
        b) 9,2 × 10⁶
        c) –2,5 × 10⁸
        d) 4,5 × 10^(–5)
4. L’arbre mettra 50 ans pour atteindre 15 m, ce qui s’écrit en notation scientifique : 5,0 × 10¹ ans.

Cette correction détaillée permet de comprendre chacune des étapes pour arriver aux réponses proposées.