Exercice 31

Résoudre graphiquement les inéquations suivantes :

\(|x + 1| < -1\)
\(|2x - 1| < 2x + 1\)
\(-|x| \leq -x\)
\(|x| + 1 \leq 2\)
\(|x| \leq -x + 1\)
\(|x + 1| \geq x + 1\)

Réponse

Résumé des solutions :

\(|x + 1| < -1\) : Aucune solution.
\(|2x - 1| < 2x + 1\) : \(x > 0\).
\(-|x| \leq -x\) : \(x \leq 0\).
\(|x| + 1 \leq 2\) : \(-1 \leq x \leq 1\).
\(|x| \leq -x + 1\) : \(x \leq \frac{1}{2}\).
\(|x + 1| \geq x + 1\) : Tout nombre réel (\(\mathbb{R}\)).

Corrigé détaillé

Correction détaillée des inéquations

1. \(|x + 1| < -1\)

Étape 1 : Comprendre la valeur absolue

La valeur absolue d’un nombre représente sa distance par rapport à zéro sur la droite numérique, et elle est toujours positive ou nulle. Donc, \(|x + 1|\) est toujours \(\geq 0\).

Étape 2 : Analyser l’inéquation

L’inéquation \(|x + 1| < -1\) demande à quelle(s) valeur(s) de \(x\), la valeur absolue est inférieure à \(-1\).

Étape 3 : Réaliser une observation

Comme \(|x + 1| \geq 0\) et que \(-1 < 0\), il n’existe aucune valeur de \(x\) telle que \(|x + 1| < -1\).

Conclusion :

Il n’y a aucune solution à cette inéquation.

2. \(|2x - 1| < 2x + 1\)

Étape 1 : Comprendre les conditions de validité

Pour que \(|2x - 1| < 2x + 1\) soit vrai, il faut que \(2x + 1 > 0\) car la valeur absolue est toujours positive.

Étape 2 : Résoudre \(2x + 1 > 0\)

\[ 2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -\frac{1}{2} \]

Étape 3 : Résoudre l’inéquation

L’inéquation \(|2x - 1| < 2x + 1\) peut être interprétée comme deux cas :

\(2x - 1 < 2x + 1\)
\(-(2x - 1) < 2x + 1\)

Cas 1 :

\[ 2x - 1 < 2x + 1 \]

Soustrayons \(2x\) des deux côtés :

\[ -1 < 1 \]

Cette inégalité est toujours vraie, donc elle ne restreint pas \(x\).

Cas 2 :

\[ -2x + 1 < 2x + 1 \]

Ajoutons \(2x\) des deux côtés :

\[ 1 < 4x + 1 \]

Soustrayons 1 des deux côtés :

\[ 0 < 4x \implies x > 0 \]

Étape 4 : Combiner les conditions

Nous avons \(x > -\frac{1}{2}\) et \(x > 0\). La solution est donc \(x > 0\).

Conclusion :

La solution de l’inéquation est \(x > 0\).

3. \(-|x| \leq -x\)

Étape 1 : Comprendre l’inéquation

Nous avons \(-|x| \leq -x\). Multipliant les deux côtés par \(-1\) et inversant le sens de l’inégalité :

\[ |x| \geq x \]

Étape 2 : Analyser la valeur absolue

La valeur absolue \(|x|\) est toujours \(\geq x\), sauf si \(x\) est négatif.

Étape 3 : Identifier les cas

Si \(x \geq 0\), alors \(|x| = x\), donc \(x \geq x\) qui est toujours vrai.
Si \(x < 0\), alors \(|x| = -x\), donc \(-x \geq x\), ce qui implique \(0 \geq 2x\), donc \(x \leq 0\).

Étape 4 : Combiner les cas

Dans les deux cas, la condition \(x \leq 0\) doit être satisfaite.

Conclusion :

La solution de l’inéquation est \(x \leq 0\).

4. \(|x| + 1 \leq 2\)

Étape 1 : Isoler la valeur absolue

\[ |x| + 1 \leq 2 \implies |x| \leq 1 \]

Étape 2 : Résoudre l’inéquation de la valeur absolue

\[ |x| \leq 1 \implies -1 \leq x \leq 1 \]

Conclusion :

La solution de l’inéquation est \(-1 \leq x \leq 1\).

5. \(|x| \leq -x + 1\)

Étape 1 : Analyser la validité de l’inéquation

Pour que \(|x| \leq -x + 1\), il faut que \(-x + 1 \geq 0\), donc :

\[ -x + 1 \geq 0 \implies x \leq 1 \]

Étape 2 : Résoudre l’inéquation selon les cas

Cas 1 : \(x \geq 0\)

\[ |x| = x \implies x \leq -x + 1 \]

Ajoutons \(x\) des deux côtés :

\[ 2x \leq 1 \implies x \leq \frac{1}{2} \]

Cas 2 : \(x < 0\)

\[ |x| = -x \implies -x \leq -x + 1 \]

En simplifiant :

\[ 0 \leq 1 \]

Cette inégalité est toujours vraie pour \(x < 0\).

Étape 3 : Combiner les solutions des deux cas

Pour \(x \geq 0\), \(x \leq \frac{1}{2}\).
Pour \(x < 0\), toute valeur \(x < 0\) est valide.

Ainsi, la solution est \(x \leq \frac{1}{2}\).

Conclusion :

La solution de l’inéquation est \(x \leq \frac{1}{2}\).

6. \(|x + 1| \geq x + 1\)

Étape 1 : Comprendre l’inéquation

\(|x + 1| \geq x + 1\) est toujours vrai, car \(|x + 1|\) est toujours \(\geq x + 1\) lorsque \(x + 1 \geq 0\), et \(|x + 1| = -(x + 1)\) lorsque \(x + 1 < 0\).

Étape 2 : Analyser les cas

Cas 1 : \(x + 1 \geq 0 \implies x \geq -1\)

\[ |x + 1| = x + 1 \implies x + 1 \geq x + 1 \]

Cette inégalité est toujours vraie.

Cas 2 : \(x + 1 < 0 \implies x < -1\)

\[ |x + 1| = -(x + 1) \implies -(x + 1) \geq x + 1 \]

Simplifions :

\[ - x - 1 \geq x + 1 \implies -2x \geq 2 \implies x \leq -1 \]

Étape 3 : Combiner les solutions des deux cas

Pour \(x \geq -1\), l’inéquation est vraie.
Pour \(x < -1\), l’inéquation est également vraie.

Conclusion :

La solution de l’inéquation est \(\boxed{\mathbb{R}}\), c’est-à-dire tout nombre réel.