Question : Déterminez si les nombres suivants sont positifs, négatifs ou nuls.
\((-4)^5\)
\((-6,3)^2\)
\(-4^{128}\)
\(\left(-\dfrac{2}{5}\right)^{-9}\)
\(\left(-\dfrac{2}{10}\right)^{-12}\)
\(\left(\dfrac{30}{31}\right)^{-3}\)
\(6,2^{-5}\)
\(-\left(\dfrac{30}{31}\right)^{-4}\)
\(\left(-\dfrac{6}{4}\right)^{8}\)
Réponses finales :
Nous allons étudier, pour chaque expression, le signe du résultat. Pour cela, nous analyserons attentivement la base (nombre à élever) et l’exposant (le nombre de fois que l’on multiplie la base par elle-même). Rappel important pour bien comprendre le signe d’un nombre élevé à une puissance entière :
• Si la base est négative et l’exposant est un nombre entier pair, le
résultat est positif.
• Si la base est négative et l’exposant est un nombre entier impair, le
résultat est négatif.
• Une puissance d’un nombre positif est toujours positive (sauf si le
nombre vaut 0, auquel cas le résultat est 0).
Nous allons maintenant corriger chacune des expressions :
────────────────────────────── a) (-4)^5
La base est –4 et l’exposant est 5 (impair).
Calcul mental : –4 multiplié par lui-même 5 fois donnera un résultat
négatif puisque le nombre de facteurs négatifs est impair.
Conclusion : le résultat est négatif.
────────────────────────────── b) (-6,3)^2
La base est –6,3 (un nombre négatif) et l’exposant est 2
(pair).
En élevant un nombre négatif à une puissance paire, le résultat devient
positif (parce que –6,3 × –6,3 donne un nombre positif).
Conclusion : le résultat est positif.
────────────────────────────── c) -4^128
Ici, il faut remarquer la priorité des opérations. L’écriture -4^128
signifie qu’on calcule d’abord 4^128, puis on applique le signe négatif
devant le résultat.
• 4^128 est un nombre très grand mais positif.
• Ensuite, le signe moins devant (– 4^128) change le résultat en
négatif.
Conclusion : le résultat est négatif.
────────────────────────────── d) (–2/5)^–9
Pour une puissance négative, la règle est de prendre l’inverse de la
fraction et d’élever ensuite à l’exposant positif.
On peut écrire :
(–2/5)^–9 = (–5/2)^9
La nouvelle base est –5/2 et l’exposant est 9 (impair).
Étant donné que l’exposant est impair, le résultat garde le signe
négatif.
Conclusion : le résultat est négatif.
────────────────────────────── e) (–2/10)^–12
On simplifie d’abord la fraction : –2/10 = –1/5.
Ensuite, on applique la propriété des exposants négatifs :
(–1/5)^–12 = (–5/1)^12 = (–5)^12
Ici, l’exposant est 12, un nombre pair, donc le résultat est
positif.
Conclusion : le résultat est positif.
────────────────────────────── f) (30/31)^–3
La fraction 30/31 est positive. Pour un exposant négatif, on prend
l’inverse et on élève à l’exposant positif :
(30/31)^–3 = (31/30)^3
Le résultat est le cube d’un nombre positif, donc positif.
Conclusion : le résultat est positif.
────────────────────────────── g) 6,2^–5
Ici, il s’agit de 6,2 élevé à la puissance –5. La notation indique
que toute la partie 6,2 est concernée par l’exposant : (6,2)^–5.
• La base 6,2 est un nombre positif.
• Un nombre positif élevé à n’importe quelle puissance reste positif,
même avec un exposant négatif car cela correspond à l’inverse de
(6,2)^5, qui est positif.
Conclusion : le résultat est positif.
────────────────────────────── h) –(30/31)^–4
L’expression se lit ainsi : on calcule d’abord (30/31)^–4, puis on
lui applique le signe négatif extérieur.
• On transforme : (30/31)^–4 = (31/30)^4.
• (31/30)^4 est positif (car élevé à une puissance paire).
• Le signe moins devant change le signe du résultat en négatif.
Conclusion : le résultat est négatif.
────────────────────────────── i) (–6/4)^8
On simplifie d’abord la fraction si besoin : –6/4 peut s’écrire
–3/2.
La base est négative (–3/2) et l’exposant est 8, un nombre pair.
En élevant un nombre négatif à un exposant pair, le résultat devient
positif.
Conclusion : le résultat est positif.
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
Chaque étape repose sur l’observation de la parité de l’exposant et sur le fait que l’application d’un exposant négatif consiste à inverser la fraction. Ces raisonnements permettent de déterminer facilement le signe du résultat.