Exercice 7

Déterminer, pour chacun des nombres \(-5\), \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1\), \(3\), lesquelles des inégalités suivantes il vérifie :

1. \(-2x \leq 3\)
   
2. \(7x - 4 \geq 3x\)
   
3. \(x^{2} \geq 4\)
   
4. \(7x - \frac{1}{2} \geq 4x\)
   
5. \((x - 3)(x + 2) \leq 0\)
   
6. \(\frac{x - 3}{x - 1} \leq 0\)

Réponse

Résumé des solutions :

1. \(-2x \leq 3\) : -1, 0, 1, 3
2. \(7x - 4 \geq 3x\) : 1, 3
3. \(x^{2} \geq 4\) : -5, -2, 3
4. \(7x - \frac{1}{2} \geq 4x\) : 1, 3
5. \((x - 3)(x + 2) \leq 0\) : -2, -1, 0, 1, 3
6. \(\frac{x - 3}{x - 1} \leq 0\) : 3

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Nous allons examiner chaque inégalité une par une et déterminer pour chacun des nombres \(-5\), \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1\), \(3\) si l’inégalité est vérifiée.

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Inégalité 1) \(-2x \leq 3\)

Résolution de l’inégalité :

1. Isoler \(x\) : \[ -2x \leq 3 \] Divisons les deux côtés de l’inégalité par \(-2\).

   Attention : Lorsque l’on divise ou multiplie une inégalité par un nombre négatif, le sens de l’inégalité s’inverse. \[ x \geq -\frac{3}{2} \]

2. Interprétation : L’inégalité \(-2x \leq 3\) est donc satisfaite pour tous les nombres \(x\) supérieurs ou égaux à \(-\frac{3}{2}\).

Vérification pour chaque nombre donné :

• \(-5\) : \(-5 \geq -1.5\) ? Faux
• \(-2\) : \(-2 \geq -1.5\) ? Faux
• \(-1\) : \(-1 \geq -1.5\) ? Vrai
• \(0\) : \(0 \geq -1.5\) ? Vrai
• \(1\) : \(1 \geq -1.5\) ? Vrai
• \(3\) : \(3 \geq -1.5\) ? Vrai

Conclusion : Les nombres \(-1\), \(0\), \(1\), \(3\) vérifient l’inégalité 1).

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Inégalité 2) \(7x - 4 \geq 3x\)

Résolution de l’inégalité :

1. Isoler \(x\) : \[ 7x - 4 \geq 3x \] Soustrayons \(3x\) des deux côtés : \[ 4x - 4 \geq 0 \] Ajoutons \(4\) des deux côtés : \[ 4x \geq 4 \] Divisons par \(4\) : \[ x \geq 1 \]

2. Interprétation : L’inégalité \(7x - 4 \geq 3x\) est satisfaite pour tous les nombres \(x\) supérieurs ou égaux à \(1\).

Vérification pour chaque nombre donné :

• \(-5\) : \(-5 \geq 1\) ? Faux
• \(-2\) : \(-2 \geq 1\) ? Faux
• \(-1\) : \(-1 \geq 1\) ? Faux
• \(0\) : \(0 \geq 1\) ? Faux
• \(1\) : \(1 \geq 1\) ? Vrai
• \(3\) : \(3 \geq 1\) ? Vrai

Conclusion : Les nombres \(1\), \(3\) vérifient l’inégalité 2).

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Inégalité 3) \(x^{2} \geq 4\)

Résolution de l’inégalité :

1. Comprendre l’inégalité : \[ x^{2} \geq 4 \] Cela signifie que le carré de \(x\) doit être supérieur ou égal à \(4\).

2. Trouver les valeurs critiques : Résolvons l’équation associée : \[ x^{2} = 4 \implies x = \pm 2 \]

3. Analyser les intervalles :

   • Pour \(x \leq -2\), \(x^{2} \geq 4\)
   • Pour \(-2 < x < 2\), \(x^{2} < 4\)
   • Pour \(x \geq 2\), \(x^{2} \geq 4\)

   Donc, l’inégalité est satisfaite pour : \[ x \leq -2 \quad \text{ou} \quad x \geq 2 \]

Vérification pour chaque nombre donné :

• \(-5\) : \((-5)^2 = 25 \geq 4\) ? Vrai
• \(-2\) : \((-2)^2 = 4 \geq 4\) ? Vrai
• \(-1\) : \((-1)^2 = 1 \geq 4\) ? Faux
• \(0\) : \(0^2 = 0 \geq 4\) ? Faux
• \(1\) : \(1^2 = 1 \geq 4\) ? Faux
• \(3\) : \(3^2 = 9 \geq 4\) ? Vrai

Conclusion : Les nombres \(-5\), \(-2\), \(3\) vérifient l’inégalité 3).

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Inégalité 4) \(7x - \dfrac{1}{2} \geq 4x\)

Résolution de l’inégalité :

1. Isoler \(x\) : \[ 7x - \frac{1}{2} \geq 4x \] Soustrayons \(4x\) des deux côtés : \[ 3x - \frac{1}{2} \geq 0 \] Ajoutons \(\frac{1}{2}\) des deux côtés : \[ 3x \geq \frac{1}{2} \] Divisons par \(3\) : \[ x \geq \frac{1}{6} \]

2. Interprétation : L’inégalité \(7x - \dfrac{1}{2} \geq 4x\) est satisfaite pour tous les nombres \(x\) supérieurs ou égaux à \(\dfrac{1}{6}\).

Vérification pour chaque nombre donné :

• \(-5\) : \(-5 \geq \dfrac{1}{6}\) ? Faux
• \(-2\) : \(-2 \geq \dfrac{1}{6}\) ? Faux
• \(-1\) : \(-1 \geq \dfrac{1}{6}\) ? Faux
• \(0\) : \(0 \geq \dfrac{1}{6}\) ? Faux
• \(1\) : \(1 \geq \dfrac{1}{6}\) ? Vrai
• \(3\) : \(3 \geq \dfrac{1}{6}\) ? Vrai

Conclusion : Les nombres \(1\), \(3\) vérifient l’inégalité 4).

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Inégalité 5) \((x - 3)(x + 2) \leq 0\)

Résolution de l’inégalité :

1. Étudier le produit : \[ (x - 3)(x + 2) \leq 0 \] Le produit de deux facteurs est inférieur ou égal à zéro lorsque :

   • Un facteur est positif et l’autre négatif.
   • Ou l’un des facteurs est nul.

2. Trouver les valeurs critiques : \[ x - 3 = 0 \implies x = 3 \] \[ x + 2 = 0 \implies x = -2 \]

3. Analyser les intervalles définis par les valeurs critiques :

   • Intervalle 1 : \(x < -2\)
     • \(x - 3\) : Négatif
     • \(x + 2\) : Négatif
     • Produit : Positif → Non satisfait
   • Intervalle 2 : \(-2 \leq x \leq 3\)
     • \(x - 3\) : Négatif ou zéro
     • \(x + 2\) : Positif ou zéro
     • Produit : Négatif ou zéro → Satisfait
   • Intervalle 3 : \(x > 3\)
     • \(x - 3\) : Positif
     • \(x + 2\) : Positif
     • Produit : Positif → Non satisfait

   Donc, l’inégalité est satisfaite pour : \[ -2 \leq x \leq 3 \]

Vérification pour chaque nombre donné :

• \(-5\) : \(-5 \in [-2, 3]\) ? Faux
• \(-2\) : \(-2 \in [-2, 3]\) ? Vrai
• \(-1\) : \(-1 \in [-2, 3]\) ? Vrai
• \(0\) : \(0 \in [-2, 3]\) ? Vrai
• \(1\) : \(1 \in [-2, 3]\) ? Vrai
• \(3\) : \(3 \in [-2, 3]\) ? Vrai

Conclusion : Les nombres \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1\), \(3\) vérifient l’inégalité 5).

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Inégalité 6) \(\dfrac{x - 3}{x - 1} \leq 0\)

Résolution de l’inégalité :

1. Étudier le quotient : \[ \frac{x - 3}{x - 1} \leq 0 \] Le quotient est inférieur ou égal à zéro lorsque :

   • Le numérateur et le dénominateur ont des signes contraires.
   • Ou le numérateur est nul.

2. Trouver les valeurs critiques : \[ x - 3 = 0 \implies x = 3 \] \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \] Attention : \(x = 1\) rend le dénominateur nul, donc cette valeur est à exclure.

3. Analyser les intervalles définis par les valeurs critiques :

   • Intervalle 1 : \(x < 1\)
     • \(x - 3\) : Négatif
     • \(x - 1\) : Négatif
     • Quotient : Positif → Non satisfait
   • Intervalle 2 : \(1 < x < 3\)
     • \(x - 3\) : Négatif
     • \(x - 1\) : Positif
     • Quotient : Négatif → Satisfait
   • Intervalle 3 : \(x > 3\)
     • \(x - 3\) : Positif
     • \(x - 1\) : Positif
     • Quotient : Positif → Non satisfait
   • Point critique : \(x = 3\)
     • Quotient = \(0\) → Satisfait

   Donc, l’inégalité est satisfaite pour : \[ 1 < x \leq 3 \]

Vérification pour chaque nombre donné :

• \(-5\) : \(-5 \in (1, 3]\) ? Faux
• \(-2\) : \(-2 \in (1, 3]\) ? Faux
• \(-1\) : \(-1 \in (1, 3]\) ? Faux
• \(0\) : \(0 \in (1, 3]\) ? Faux
• \(1\) : \(1\) est exclu car le dénominateur est nul → Faux
• \(3\) : \(3 \in (1, 3]\) ? Vrai

Conclusion : Seul le nombre \(3\) vérifie l’inégalité 6).

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Récapitulatif des solutions

Nombre	Inégalité 1	Inégalité 2	Inégalité 3	Inégalité 4	Inégalité 5	Inégalité 6
-5	Faux	Faux	Vrai	Faux	Faux	Faux
-2	Faux	Faux	Vrai	Faux	Vrai	Faux
-1	Vrai	Faux	Faux	Faux	Vrai	Faux
0	Vrai	Faux	Faux	Faux	Vrai	Faux
1	Vrai	Vrai	Faux	Vrai	Vrai	Faux
3	Vrai	Vrai	Vrai	Vrai	Vrai	Vrai

Légende : - Vrai : L’inégalité est vérifiée pour ce nombre. - Faux : L’inégalité n’est pas vérifiée pour ce nombre.