Exercice : Propriétés des Opérations avec des Nombres Négatifs
Démontrez que l’opposé d’un produit est égal au produit de l’opposé par un des facteurs : \[ - (a \times b) = (-a) \times b \] Ainsi, \(-ab = -a \times b\).
Démontrez que l’opposé d’un quotient est égal au quotient de l’opposé par le dénominateur : \[ - \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} \]
Le produit de deux opposés est-il égal à l’opposé d’un produit ? Justifiez votre réponse.
Résumé de la correction :
L’opposé d’un produit est égal au produit de l’opposé par un facteur, soit \(-ab = (-a) \times b\).
L’opposé d’un quotient correspond au quotient de l’opposé du numérateur par le dénominateur, c’est-à-dire \(-\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{-a}{b}\).
Le produit de deux opposés, \((-a) \times (-b)\), est différent de l’opposé d’un produit, \(-ab\), puisqu’il vaut \(ab \neq -ab\).
Énoncé : Démontrez que l’opposé d’un produit est égal au produit de l’opposé par un des facteurs : \[ - (a \times b) = (-a) \times b \] Ainsi, \(-ab = (-a) \times b\).
Correction :
Pour démontrer que \(- (a \times b) = (-a) \times b\), suivons les étapes ci-dessous :
Définition de l’opposé :
L’opposé d’un nombre \(x\) est le nombre qui, ajouté à \(x\), donne zéro. Mathématiquement, \(x + (-x) = 0\).
Calcul de l’opposé du produit \(a \times b\):
L’opposé de \(a \times b\) est \(-ab\).
Calcul du produit de \(-a\) par \(b\) :
Multiplier \(-a\) par \(b\) donne \((-a) \times b = -ab\).
Comparaison des deux expressions :
Nous avons montré que : \[ - (a \times b) = -ab \] et \[ (-a) \times b = -ab \]
Donc, \[ - (a \times b) = (-a) \times b \]
Conclusion : L’opposé du produit \(a \times b\) est égal au produit de l’opposé de \(a\) par \(b\), c’est-à-dire : \[ -ab = (-a) \times b \]
Énoncé : Démontrez que l’opposé d’un quotient est égal au quotient de l’opposé par le dénominateur : \[ - \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} \]
Correction :
Pour démontrer que \(- \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b}\), procédons étape par étape :
Définition de l’opposé d’un quotient :
L’opposé de \(\frac{a}{b}\) est \(-\left( \frac{a}{b} \right)\).
Multiplication du numérateur par \(-1\) :
Multiplier \(a\) par \(-1\) donne \(-a\). Ainsi, le quotient devient : \[ \frac{-a}{b} \]
Comparaison des deux expressions :
Nous avons : \[ - \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} \]
Conclusion : L’opposé du quotient \(\frac{a}{b}\) est égal au quotient de l’opposé de \(a\) par \(b\), c’est-à-dire : \[ - \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} \]
Question : Le produit de deux opposés est-il égal à l’opposé d’un produit ? Justifiez votre réponse.
Correction :
Analysons le produit de deux nombres opposés et le comparons à l’opposé d’un produit.
Définition des opposés :
Soient deux nombres \(a\) et \(b\), leurs opposés sont \(-a\) et \(-b\) respectivement.
Calcul du produit des opposés :
Multiplier \(-a\) par \(-b\) donne : \[ (-a) \times (-b) = ab \] (Parce que le produit de deux nombres négatifs est positif.)
Calcul de l’opposé d’un produit :
L’opposé du produit \(a \times b\) est : \[ - (a \times b) = -ab \]
Comparaison des résultats :
Nous avons : \[ (-a) \times (-b) = ab \\ - (a \times b) = -ab \]
Ainsi, \((-a) \times (-b) \neq - (a \times b)\).
Conclusion : Le produit de deux opposés, \((-a) \times (-b)\), est égal à \(ab\) (positif), tandis que l’opposé d’un produit, \(- (a \times b)\), est égal à \(-ab\) (négatif). Par conséquent, le produit de deux opposés n’est pas égal à l’opposé d’un produit.