Question : Je suis un nombre compris entre \(1500\) et \(1520\). Je suis divisible par \(5\) et \(7\), mais pas par \(10\) ni par \(49\). Qui suis-je ?
Écris \(455\) comme produit de trois nombres premiers.
Déduis-en l’ensemble de ses diviseurs autres que \(1\) et lui-même.
Le nombre recherché est \(455\). Sa décomposition en facteurs premiers est \(455 = 5 \times 7 \times 13\). Ses diviseurs autres que \(1\) et \(455\) sont donc \(5\), \(7\), \(13\), \(35\), \(65\) et \(91\).
Question : Je suis un nombre compris entre \(1500\) et \(1520\). Je suis divisible par \(5\) et \(7\), mais pas par \(10\) ni par \(49\). Qui suis-je ?
Écris \(455\) comme produit de trois nombres premiers.
Déduis-en l’ensemble de ses diviseurs autres que \(1\) et lui-même.
Pour exprimer le nombre \(455\) comme le produit de trois nombres premiers, il faut procéder par décomposition en facteurs premiers.
Étape 1 : Diviser par le plus petit nombre premier possible
On commence par diviser \(455\) par le plus petit nombre premier, qui est \(2\). Cependant, \(455\) est impair, donc il n’est pas divisible par \(2\).
Étape 2 : Tester la divisibilité par \(5\)
Le nombre \(455\) se termine par un \(5\), il est donc divisible par \(5\).
\[ 455 \div 5 = 91 \]
Maintenant, nous avons \(455 = 5 \times 91\).
Étape 3 : Décomposer \(91\) en facteurs premiers
Nous devons maintenant décomposer \(91\). Le nombre \(91\) n’est pas divisible par \(2\) ni par \(3\).
Essayons avec \(7\) :
\[ 91 \div 7 = 13 \]
Donc, \(91 = 7 \times 13\).
Étape 4 : Assembler les facteurs premiers
Ainsi, la décomposition en facteurs premiers de \(455\) est :
\[ 455 = 5 \times 7 \times 13 \]
Ces trois nombres (\(5\), \(7\), \(13\)) sont des nombres premiers.
Pour déterminer les diviseurs de \(455\) autres que \(1\) et \(455\), nous utiliserons sa décomposition en facteurs premiers.
Étape 1 : Utiliser la décomposition en facteurs premiers
Nous avons :
\[ 455 = 5 \times 7 \times 13 \]
Étape 2 : Trouver les différents produits des facteurs premiers
Les diviseurs de \(455\) sont obtenus en multipliant les différents combinaisons des facteurs premiers :
Étape 3 : Exclure \(1\) et \(455\)
Les diviseurs de \(455\) autres que \(1\) et lui-même sont donc :
\[ 5, \quad 7, \quad 13, \quad 35, \quad 65, \quad 91 \]
Ainsi, nous avons décomposé \(455\) en facteurs premiers et identifié tous ses diviseurs autres que \(1\) et \(455\).