Question :
Donne quelques exemples de fractions décimales.
Quelle est la décomposition de 10 en produit de facteurs premiers ? En déduire la décomposition de \(10^{n}\) en produit de facteurs premiers.
« Si la décomposition en produit de facteurs premiers du
dénominateur ne contient que des 2 et des 5, alors une fraction peut
être écrite sous forme de fraction décimale. »
Montre que cette proposition est vraie pour les fractions
suivantes.
\[ \frac{3}{8}, \quad \frac{5}{50} \]
| Fraction | Décomposition | Fraction décimale |
|---|---|---|
| \(\frac{6}{20}\) | ||
| \(\frac{4}{16}\) | ||
| \(\frac{9}{40}\) | ||
| \(\frac{15}{100}\) |
Les fractions décimales sont celles dont le dénominateur est une puissance de 10. Comme 10 = 2 × 5, on a 10ⁿ = 2ⁿ × 5ⁿ. Ainsi, si le dénominateur d’une fraction ne contient que 2 et 5, on peut la transformer en fraction décimale en équilibrant les puissances. Par exemple, 3/8 se transforme en 375/1000 = 0,375 et 5/50 se simplifie en 1/10 = 0,1. De même, 6/20 = 30/100 = 0,30, 4/16 = 1/4 = 0,25, 9/40 = 225/1000 = 0,225 et 15/100 = 0,15.
Nous allons corriger cet exercice pas à pas en expliquant chaque partie de la démarche.
────────────────────────────── a) Exemples de fractions décimales
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une
puissance de 10 (c’est-à-dire 10, 100, 1000, …) ou peut être transformé
en telle forme. Par exemple, on peut donner les exemples suivants : •
3/10 (car 10 = 10¹) • 27/100 (car 100 = 10²) • 456/1000 (car 1000 =
10³)
Ces fractions s’écrivent directement sous forme décimale (0,3 ; 0,27 ;
0,456).
────────────────────────────── b) Décomposition de 10 et de 10ⁿ en produit de facteurs premiers
On commence par décomposer le nombre 10.
– Le nombre 10 se décompose en :
10 = 2 × 5
Pour la puissance 10ⁿ, on utilise la propriété suivante des exposants : 10ⁿ = (2 × 5)ⁿ = 2ⁿ × 5ⁿ
Ainsi, la décomposition en produit de facteurs premiers de 10ⁿ est 2ⁿ × 5ⁿ.
────────────────────────────── c) Vérification de la proposition pour les fractions 3/8 et 5/50
La proposition à vérifier dit :
« Si la décomposition en produit de facteurs premiers du dénominateur ne
contient que des 2 et des 5, alors la fraction peut être écrite sous
forme de fraction décimale. »
Analysons les deux cas :
Pour la fraction 3/8
– Décomposition du dénominateur :
8 = 2³
Ici, le dénominateur ne contient que le facteur 2.
Pour obtenir un dénominateur de la forme 10^n, il faut équilibrer les
puissances de 2 et de 5. Puisque nous avons 2³, nous pouvons multiplier
le numérateur et le dénominateur par 5³ (=125) : 3/8 = (3 × 125) / (8 ×
125) = 375/1000
Or, 1000 = 10³ donc 3/8 = 0,375.
Pour la fraction 5/50
– Premièrement, on simplifie :
5/50 = 1/10
– Décomposition du dénominateur :
10 = 2 × 5
Ici, le dénominateur est déjà 10, qui est 10¹.
On a donc :
1/10 = 0,1
Dans les deux cas, le dénominateur (après ajustement ou simplification) ne contient que 2 et 5 et la fraction s’écrit sous forme décimale, ce qui confirme la proposition.
────────────────────────────── d) Identification et écriture sous forme décimale de certaines fractions
Nous allons examiner chacune des fractions proposées en décomposant leur dénominateur.
Fraction : 6/20
– Décomposition du dénominateur :
20 = 2² × 5
Le dénominateur contient uniquement des facteurs 2 et 5.
Pour obtenir un dénominateur de la forme 10^n, il faut équilibrer les
puissances. Ici, nous avons 2² et 5¹.
Pour avoir la même puissance, choisissons l’exposant maximum, ici 2. On
a besoin d’un deuxième facteur 5.
On multiplie donc le numérateur et le dénominateur par 5 : 6/20 = (6 ×
5) / (20 × 5) = 30/100 = 0,30
Fraction : 4/16
– Décomposition du dénominateur :
16 = 2⁴
Ici, le dénominateur contient uniquement le facteur 2.
On peut simplifier la fraction :
4/16 = 1/4
Pour écrire 1/4 sous forme décimale, on sait que :
1/4 = 0,25
On peut aussi mettre sous forme décimale en équilibrant avec des
puissances de 5, par exemple multiplier le numérateur et le dénominateur
par 5⁴ (625), mais il est plus simple de réduire la fraction.
Fraction : 9/40
– Décomposition du dénominateur :
40 = 2³ × 5
Les facteurs sont 2 et 5 uniquement.
Ici, le dénominateur a 2³ et 5¹. Pour obtenir un dénominateur de la
forme 10ⁿ avec n = 3 (car 2³), il faut multiplier le numérateur et le
dénominateur par 5² (=25) pour arriver à 5³ : 9/40 = (9 × 25) / (40 ×
25) = 225/1000 = 0,225
Fraction : 15/100
– Décomposition du dénominateur :
100 = 2² × 5²
Le dénominateur est déjà de la forme 10² (car 2² × 5² = 10²).
On a donc directement :
15/100 = 0,15
────────────────────────────── Récapitulatif dans le tableau :
Fraction | Décomposition du dénominateur | Fraction décimale
────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
6/20 | 20 = 2² × 5 | 30/100 = 0,30
4/16 | 16 = 2⁴ | (Réduction) 1/4 = 0,25
9/40 | 40 = 2³ × 5 | 225/1000 = 0,225
15/100 | 100 = 2² × 5² | 0,15
────────────────────────────── Conclusion
Nous avons ainsi démontré, pour chaque point de l’exercice, que
1. Les fractions décimales sont celles dont le dénominateur est une
puissance de 10.
2. La décomposition de 10 est 2 × 5, donc celle de 10ⁿ est 2ⁿ ×
5ⁿ.
3. Si le dénominateur d’une fraction ne contient que 2 et 5, on peut
toujours trouver une écriture en fraction décimale (cas de 3/8 et
5/50).
4. En décomposant les dénominateurs de 6/20, 4/16, 9/40 et 15/100, nous
avons montré que ces fractions sont décimales et nous les avons écrites
sous forme décimale.
Cette approche étape par étape permet de comprendre comment passer d’une décomposition des dénominateurs à l’écriture d’une fraction en forme décimale.