Exercice 2

Question : Décomposez les nombres suivants en produit de facteurs premiers :

1. \(420\) :
2. \(156\) :
3. \(675\) :
4. \(1980\) :

Réponse

Les décompositions en facteurs premiers sont :

• \(420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7\)
• \(156 = 2^2 \times 3 \times 13\)
• \(675 = 5^2 \times 3^3\)
• \(1980 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 11\)

Corrigé détaillé

1. Décomposition de \(420\) en facteurs premiers

Pour décomposer \(420\) en produit de facteurs premiers, nous allons diviser successivement par les plus petits nombres premiers jusqu’à obtenir des facteurs premiers uniquement.

Étape 1 : Diviser par \(2\)

\(420\) est un nombre pair, donc divisible par \(2\).

\[ 420 \div 2 = 210 \]

Ainsi, \[ 420 = 2 \times 210 \]

Étape 2 : Diviser \(210\) par \(2\)

\(210\) est également pair.

\[ 210 \div 2 = 105 \]

Ainsi, \[ 420 = 2 \times 2 \times 105 \]

Étape 3 : Diviser \(105\) par \(3\)

Le nombre \(105\) n’est pas pair, vérifions la divisibilité par \(3\). La somme des chiffres de \(105\) est \(1 + 0 + 5 = 6\), qui est divisible par \(3\).

\[ 105 \div 3 = 35 \]

Ainsi, \[ 420 = 2 \times 2 \times 3 \times 35 \]

Étape 4 : Diviser \(35\) par \(5\)

Le dernier chiffre de \(35\) est \(5\), donc divisible par \(5\).

\[ 35 \div 5 = 7 \]

Ainsi, \[ 420 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 7 \]

Conclusion

Les facteurs premiers de \(420\) sont : \[ 420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \]

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2. Décomposition de \(156\) en facteurs premiers

Étape 1 : Diviser par \(2\)

\(156\) est pair.

\[ 156 \div 2 = 78 \]

Ainsi, \[ 156 = 2 \times 78 \]

Étape 2 : Diviser \(78\) par \(2\)

\(78\) est également pair.

\[ 78 \div 2 = 39 \]

Ainsi, \[ 156 = 2 \times 2 \times 39 \]

Étape 3 : Diviser \(39\) par \(3\)

La somme des chiffres de \(39\) est \(3 + 9 = 12\), divisible par \(3\).

\[ 39 \div 3 = 13 \]

Ainsi, \[ 156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13 \]

Conclusion

Les facteurs premiers de \(156\) sont : \[ 156 = 2^2 \times 3 \times 13 \]

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3. Décomposition de \(675\) en facteurs premiers

Étape 1 : Diviser par \(5\)

Le dernier chiffre de \(675\) est \(5\), donc divisible par \(5\).

\[ 675 \div 5 = 135 \]

Ainsi, \[ 675 = 5 \times 135 \]

Étape 2 : Diviser \(135\) par \(5\)

Encore une fois, le dernier chiffre est \(5\).

\[ 135 \div 5 = 27 \]

Ainsi, \[ 675 = 5 \times 5 \times 27 \]

Étape 3 : Diviser \(27\) par \(3\)

La somme des chiffres de \(27\) est \(2 + 7 = 9\), divisible par \(3\).

\[ 27 \div 3 = 9 \]

Ainsi, \[ 675 = 5 \times 5 \times 3 \times 9 \]

Étape 4 : Diviser \(9\) par \(3\)

\[ 9 \div 3 = 3 \]

Ainsi, \[ 675 = 5 \times 5 \times 3 \times 3 \times 3 \]

Conclusion

Les facteurs premiers de \(675\) sont : \[ 675 = 5^2 \times 3^3 \]

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4. Décomposition de \(1980\) en facteurs premiers

Étape 1 : Diviser par \(2\)

\(1980\) est pair.

\[ 1980 \div 2 = 990 \]

Ainsi, \[ 1980 = 2 \times 990 \]

Étape 2 : Diviser \(990\) par \(2\)

\(990\) est également pair.

\[ 990 \div 2 = 495 \]

Ainsi, \[ 1980 = 2 \times 2 \times 495 \]

Étape 3 : Diviser \(495\) par \(3\)

La somme des chiffres de \(495\) est \(4 + 9 + 5 = 18\), divisible par \(3\).

\[ 495 \div 3 = 165 \]

Ainsi, \[ 1980 = 2 \times 2 \times 3 \times 165 \]

Étape 4 : Diviser \(165\) par \(3\)

La somme des chiffres de \(165\) est \(1 + 6 + 5 = 12\), divisible par \(3\).

\[ 165 \div 3 = 55 \]

Ainsi, \[ 1980 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 55 \]

Étape 5 : Diviser \(55\) par \(5\)

Le dernier chiffre de \(55\) est \(5\).

\[ 55 \div 5 = 11 \]

Ainsi, \[ 1980 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 11 \]

Conclusion

Les facteurs premiers de \(1980\) sont : \[ 1980 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 11 \]