Question : Complète les décompositions suivantes en facteurs premiers :
\(4 \cdot 17 \cdot 9 =\)
\(5 \cdot 20 \cdot 55 =\)
\(11 \cdot 5^{2} \cdot 25 \cdot 35 =\)
\(19 \cdot 25 \cdot 49 =\)
Réponses finales :
\(2^{2} \times 3^{2} \times 17\)
\(2^{2} \times 5^{3} \times 11\)
\(5^{5} \times 7 \times 11\)
\(5^{2} \times 7^{2} \times 19\)
Correction détaillée des décompositions en facteurs premiers
Nous allons décomposer chaque expression en facteurs premiers en décomposant chaque nombre composant le produit en ses facteurs premiers, puis en les regroupant.
Étape 1 : Décomposer chaque nombre en facteurs premiers
4 : \[ 4 = 2 \times 2 = 2^{2} \]
17 : \[ 17 \text{ est un nombre premier, donc } 17 = 17^{1} \]
9 : \[ 9 = 3 \times 3 = 3^{2} \]
Étape 2 : Regrouper les facteurs premiers
\[ 4 \cdot 17 \cdot 9 = 2^{2} \times 17^{1} \times 3^{2} \]
Réponse finale : \[ 2^{2} \times 3^{2} \times 17 \]
Étape 1 : Décomposer chaque nombre en facteurs premiers
5 : \[ 5 \text{ est un nombre premier, donc } 5 = 5^{1} \]
20 : \[ 20 = 2 \times 2 \times 5 = 2^{2} \times 5^{1} \]
55 : \[ 55 = 5 \times 11 = 5^{1} \times 11^{1} \]
Étape 2 : Regrouper les facteurs premiers
\[ 5 \cdot 20 \cdot 55 = 5^{1} \times (2^{2} \times 5^{1}) \times (5^{1} \times 11^{1}) \]
\[ = 2^{2} \times 5^{1 + 1 + 1} \times 11^{1} = 2^{2} \times 5^{3} \times 11 \]
Réponse finale : \[ 2^{2} \times 5^{3} \times 11 \]
Étape 1 : Décomposer chaque nombre en facteurs premiers
11 : \[ 11 \text{ est un nombre premier, donc } 11 = 11^{1} \]
\(5^{2}\) : \[ 5^{2} \text{ est déjà une décomposition en facteurs premiers} \]
25 : \[ 25 = 5 \times 5 = 5^{2} \]
35 : \[ 35 = 5 \times 7 = 5^{1} \times 7^{1} \]
Étape 2 : Regrouper les facteurs premiers
\[ 11 \cdot 5^{2} \cdot 25 \cdot 35 = 11^{1} \times 5^{2} \times 5^{2} \times (5^{1} \times 7^{1}) \]
\[ = 5^{2 + 2 + 1} \times 7^{1} \times 11^{1} = 5^{5} \times 7 \times 11 \]
Réponse finale : \[ 5^{5} \times 7 \times 11 \]
Étape 1 : Décomposer chaque nombre en facteurs premiers
19 : \[ 19 \text{ est un nombre premier, donc } 19 = 19^{1} \]
25 : \[ 25 = 5 \times 5 = 5^{2} \]
49 : \[ 49 = 7 \times 7 = 7^{2} \]
Étape 2 : Regrouper les facteurs premiers
\[ 19 \cdot 25 \cdot 49 = 19^{1} \times 5^{2} \times 7^{2} \]
Réponse finale : \[ 5^{2} \times 7^{2} \times 19 \]
Chaque décomposition a été réalisée en identifiant les facteurs premiers de chaque nombre, puis en regroupant ces facteurs pour obtenir la décomposition finale en facteurs premiers du produit donné.