Un nombre à quatre chiffres possède les propriétés suivantes :
Quel est ce nombre ?
Le nombre recherché est 3663.
Nous cherchons un nombre à quatre chiffres qui est un palindrome (il se lit de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche), dont la somme des chiffres est égale à 18 et dont le chiffre des dizaines est le double de celui des unités.
Représentation du nombre : Puisque le nombre reste identique lorsqu’il est lu de droite à gauche, il doit être de la forme ABBA, où : • Le premier chiffre (milliers) est A. • Le deuxième chiffre (centaines) est B. • Le troisième chiffre (dizaines) est donc également B. • Le quatrième chiffre (unités) est A.
Application de la deuxième propriété (somme des chiffres) : La somme des chiffres est : A + B + B + A = 2A + 2B. Or, on sait que cette somme vaut 18. Ainsi, on a : 2A + 2B = 18 En divisant l’équation par 2 : A + B = 9.
Application de la première propriété (le chiffre des dizaines est le double de celui des unités) : Le chiffre des dizaines est B et le chiffre des unités est A. D’après l’énoncé : B = 2A.
Résolution du système d’équations : On utilise les deux équations obtenues : • A + B = 9 • B = 2A
En remplaçant B par 2A dans la première équation : A + 2A = 9 Ce qui donne : 3A = 9 Donc : A = 3.
Maintenant, en utilisant B = 2A : B = 2 × 3 = 6.
Détermination du nombre : Le nombre, sous la forme ABBA, possède les chiffres A = 3 et B = 6. On obtient donc : 3 6 6 3, c’est-à-dire 3663.
Vérification : • Palindrome : 3663 se lit de la même façon de gauche à droite et de droite à gauche. • Somme des chiffres : 3 + 6 + 6 + 3 = 18. • Rapport entre dizaines et unités : le chiffre des dizaines est 6, qui est bien le double du chiffre des unités 3.
Ainsi, le nombre à quatre chiffres recherché est 3663.