Question : La somme des chiffres d’un nombre à trois chiffres est de 12. En permutant les chiffres des centaines et des unités, on obtient un nombre inférieur au premier de 396.
Quels sont ces deux nombres sachant que le chiffre des dizaines de chacun est 4 ?
Les deux nombres sont 642 et 246.
Nous cherchons deux nombres à trois chiffres qui vérifient les conditions suivantes :
Pour résoudre ce problème, procédons étape par étape.
────────────────────────────── 1. Représentation du nombre
Soit le nombre de départ que nous écrirons sous la forme a4b, où : • a est le chiffre des centaines, • 4 est le chiffre des dizaines (donné), • b est le chiffre des unités.
Le nombre s’écrit donc :
Nombre original = 100a + 40 + b.
────────────────────────────── 2. La somme des chiffres
D’après l’énoncé, la somme des chiffres vaut 12.
Nous avons donc : a + 4 + b = 12
=> a + b = 12 - 4
=> a + b = 8. (Équation 1)
────────────────────────────── 3. La permutation : échange des centaines et des unités
En permutant a et b, on obtient le nombre :
Nombre permuté = b4a.
Pour écrire ce nouveau nombre en valeur numérique, on a : Nombre permuté = 100b + 40 + a.
D’après l’énoncé, ce nombre est inférieur au nombre original de 396.
Ainsi,
Nombre original – Nombre permuté = 396
Remplaçons par leur expression : (100a + 40 + b) – (100b + 40 + a) = 396.
Simplifions cette expression : 100a + 40 + b – 100b – 40 – a =
396
(100a – a) + (b – 100b) = 396
99a – 99b = 396
=> 99(a – b) = 396.
Divisons ensuite par 99 : a – b = 396 / 99
a – b = 4. (Équation 2)
────────────────────────────── 4. Résolution du système d’équations
Nous disposons de deux équations : (1) a + b = 8
(2) a – b = 4
Additionnons ces deux équations pour éliminer b : (a + b) + (a – b)
= 8 + 4
2a = 12
=> a = 6.
Pour trouver b, utilisons l’équation (1) : 6 + b = 8
=> b = 8 – 6
=> b = 2.
────────────────────────────── 5. Détermination des deux nombres
• Le nombre original est constitué des chiffres a = 6, 4 (dizaine
donnée), b = 2.
Ainsi, le nombre original vaut 642.
• Le nombre obtenu en permutant les centaines et les unités est alors constitué de b = 2, 4, a = 6, soit 246.
Vérifions que la différence est bien de 396 :
642 – 246 = 396.
────────────────────────────── Conclusion
Les deux nombres qui satisfont toutes les conditions de l’énoncé sont
:
• Le nombre original : 642
• Le nombre après permutation : 246.