Exercice 2

Question : Sophie affirme :

« Je peux multiplier rapidement un nombre à deux chiffres par 11.

Par exemple, pour \(32 \times 11\), je prends le chiffre des dizaines, je l’ajoute au chiffre des unités, puis j’écris ce résultat entre les deux chiffres.

Donc : \(32 \times 11 = 352\). »

Prouve que cette méthode de calcul est correcte pour tout nombre à deux chiffres.

Réponse

La méthode de Sophie fonctionne pour tout nombre à deux chiffres en ajoutant les dizaines et les unités et en tenant compte de la retenue si la somme est supérieure ou égale à 10.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Énoncé :

Sophie affirme :

« Je peux multiplier rapidement un nombre à deux chiffres par 11.

Par exemple, pour \(32 \times 11\), je prends le chiffre des dizaines, je l’ajoute au chiffre des unités, puis j’écris ce résultat entre les deux chiffres.

Donc : \(32 \times 11 = 352\). »

Prouve que cette méthode de calcul est correcte pour tout nombre à deux chiffres.

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Solution détaillée

Pour prouver que la méthode de Sophie fonctionne pour tout nombre à deux chiffres, suivons les étapes suivantes.

1. Représentation générale d’un nombre à deux chiffres

Un nombre à deux chiffres peut être représenté de la manière suivante :

• Soit \(N\) un nombre à deux chiffres.
• \(N = 10a + b\), où :
  • \(a\) est le chiffre des dizaines (\(1 \leq a \leq 9\))
  • \(b\) est le chiffre des unités (\(0 \leq b \leq 9\))

Exemple : Pour \(32\), - \(a = 3\) - \(b = 2\)

2. Méthode de Sophie pour multiplier par 11

Selon Sophie, pour multiplier \(N\) par 11 :

1. Prendre le chiffre des dizaines (\(a\)).
2. Ajouter le chiffre des unités (\(b\)) au chiffre des dizaines (\(a\)) : \(a + b\).
3. Inscrire le résultat de cette addition entre les deux chiffres \(a\) et \(b\).

Donc, \(N \times 11 = 100a + 10(a + b) + b\).

3. Calcul de \(N \times 11\) de manière traditionnelle

Calculons \(N \times 11\) en utilisant l’expression algébrique :

\[ N \times 11 = (10a + b) \times 11 = 10a \times 11 + b \times 11 = 110a + 11b \]

Développons \(110a + 11b\) :

\[ 110a + 11b = 100a + 10a + 10b + b = 100a + 10(a + b) + b \]

4. Comparaison des deux méthodes

Nous avons donc :

• Méthode de Sophie : \(100a + 10(a + b) + b\)
• Calcul traditionnel : \(100a + 10(a + b) + b\)

Les deux expressions sont identiques, ce qui prouve que la méthode de Sophie est correcte.

5. Vérification avec un exemple

Prenons un autre exemple pour illustrer la méthode.

Exemple : Multiplions \(47\) par \(11\) en utilisant la méthode de Sophie.

1. \(a = 4\), \(b = 7\)
2. Additionnez les chiffres : \(4 + 7 = 11\)
3. Inscrivez le résultat entre \(a\) et \(b\) : \(4\underline{11}7\)

Cependant, ici, le résultat \(4117\) n’est pas correct car \(47 \times 11 = 517\).

Remarque : Lorsque l’addition \(a + b\) dépasse \(9\), il faut prendre en compte la retenue.

Correction :

1. Additionnez les chiffres : \(4 + 7 = 11\)
2. Écrivez le chiffre des unités de l’addition (\(1\)) entre \(a\) et \(b\) et ajoutez la retenue (\(1\)) au chiffre des dizaines :

\[ 4 + 1 = 5 \]

Ainsi, le résultat est \(517\), ce qui est correct.

6. Conclusion

La méthode de Sophie fonctionne correctement pour tout nombre à deux chiffres si l’on prend en compte la retenue lorsque \(a + b \geq 10\). En suivant ces étapes, on peut multiplier rapidement un nombre à deux chiffres par 11 de manière efficace.