Exercice 65

Effectuer les produits suivants:

1. \((2 x+y) \cdot(2 x-y) \cdot\left(4 x^{2}+y^{2}\right)\)
   
2. \(\left(\frac{1}{2} a+b\right) \cdot\left(\frac{1}{2} a-b\right) \cdot\left(\frac{1}{4} a^{2}-b^{2}\right)\)
   
3. \((0,1 w+t) \cdot(0,1 w-t) \cdot\left(0,01 w^{2}+t^{2}\right)\)
   
4. \((a+1) \cdot(a-1) \cdot\left(a^{2}+1\right) \cdot\left(a^{4}-1\right)\)
   
5. \((x+6) \cdot(x-6) \cdot\left(x^{2}-10\right)\)
   
6. \((2 x-3) \cdot\left(4 x^{2}+10\right) \cdot(2 x+3)\)

Réponse

Voici les réponses succinctes des exercices corrigés :

Exercice 1 : \[ 16x^{4} - y^{4} \]

Exercice 2 : \[ \frac{1}{16}a^{4} - \frac{1}{2}a^{2}b^{2} + b^{4} \]

Exercice 3 : \[ 0,0001w^{4} - t^{4} \]

Exercice 4 : \[ a^{8} - 2a^{4} + 1 \]

Exercice 5 : \[ x^{4} - 46x^{2} + 360 \]

Exercice 6 : \[ 16x^{4} + 4x^{2} - 90 \]

Corrigé détaillé

Correction des Exercices

Exercice 1

Effectuer le produit suivant :

\[(2x + y) \cdot (2x - y) \cdot \left(4x^{2} + y^{2}\right)\]

Étape 1 : Multiplier les deux premiers binômes

Nous commençons par multiplier \((2x + y)\) et \((2x - y)\) en utilisant la formule du produit de deux binômes conjugués :

\[(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}\]

Appliquons cette formule avec \(a = 2x\) et \(b = y\) :

\[(2x + y)(2x - y) = (2x)^{2} - y^{2} = 4x^{2} - y^{2}\]

Étape 2 : Multiplier le résultat par le troisième terme

Nous avons maintenant :

\[(4x^{2} - y^{2}) \cdot \left(4x^{2} + y^{2}\right)\]

Encore une fois, c’est le produit de deux binômes conjugués. Utilisons la même formule :

\[(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}\]

Avec \(a = 4x^{2}\) et \(b = y^{2}\) :

\[(4x^{2})^{2} - (y^{2})^{2} = 16x^{4} - y^{4}\]

Résultat Final

\[16x^{4} - y^{4}\]

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Exercice 2

Effectuer le produit suivant :

\[\left(\frac{1}{2}a + b\right) \cdot \left(\frac{1}{2}a - b\right) \cdot \left(\frac{1}{4}a^{2} - b^{2}\right)\]

Étape 1 : Multiplier les deux premiers binômes

Utilisons la formule des binômes conjugués :

\[(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}\]

Avec \(a = \frac{1}{2}a\) et \(b = b\) :

\[\left(\frac{1}{2}a + b\right)\left(\frac{1}{2}a - b\right) = \left(\frac{1}{2}a\right)^{2} - b^{2} = \frac{1}{4}a^{2} - b^{2}\]

Étape 2 : Multiplier le résultat par le troisième terme

Nous avons maintenant :

\[\left(\frac{1}{4}a^{2} - b^{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{4}a^{2} - b^{2}\right)\]

Cela équivaut à élever \(\left(\frac{1}{4}a^{2} - b^{2}\right)\) au carré :

\[\left(\frac{1}{4}a^{2}\right)^{2} - 2 \cdot \frac{1}{4}a^{2} \cdot b^{2} + (b^{2})^{2} = \frac{1}{16}a^{4} - \frac{1}{2}a^{2}b^{2} + b^{4}\]

Résultat Final

\[\frac{1}{16}a^{4} - \frac{1}{2}a^{2}b^{2} + b^{4}\]

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Exercice 3

Effectuer le produit suivant :

\[(0,1w + t) \cdot (0,1w - t) \cdot \left(0,01w^{2} + t^{2}\right)\]

Étape 1 : Multiplier les deux premiers binômes

Utilisons la formule des binômes conjugués :

\[(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}\]

Avec \(a = 0,1w\) et \(b = t\) :

\[(0,1w + t)(0,1w - t) = (0,1w)^{2} - t^{2} = 0,01w^{2} - t^{2}\]

Étape 2 : Multiplier le résultat par le troisième terme

Nous avons maintenant :

\[(0,01w^{2} - t^{2}) \cdot (0,01w^{2} + t^{2})\]

Encore une fois, c’est le produit de deux binômes conjugués :

\[(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}\]

Avec \(a = 0,01w^{2}\) et \(b = t^{2}\) :

\[(0,01w^{2})^{2} - (t^{2})^{2} = 0,0001w^{4} - t^{4}\]

Résultat Final

\[0,0001w^{4} - t^{4}\]

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Exercice 4

Effectuer le produit suivant :

\[(a + 1) \cdot (a - 1) \cdot \left(a^{2} + 1\right) \cdot \left(a^{4} - 1\right)\]

Étape 1 : Multiplier les deux premiers binômes

Utilisons la formule des binômes conjugués :

\[(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}\]

Avec \(b = 1\) :

\[(a + 1)(a - 1) = a^{2} - 1\]

Étape 2 : Multiplier ce résultat par le troisième terme

Nous avons maintenant :

\[(a^{2} - 1) \cdot (a^{2} + 1)\]

Encore une fois, c’est le produit de deux binômes conjugués :

\[(a^{2})^{2} - (1)^{2} = a^{4} - 1\]

Étape 3 : Multiplier par le dernier terme

Nous avons maintenant :

\[(a^{4} - 1) \cdot (a^{4} - 1)\]

Cela équivaut à élever \((a^{4} - 1)\) au carré :

\[(a^{4})^{2} - 2 \cdot a^{4} \cdot 1 + (1)^{2} = a^{8} - 2a^{4} + 1\]

Résultat Final

\[a^{8} - 2a^{4} + 1\]

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Exercice 5

Effectuer le produit suivant :

\[(x + 6) \cdot (x - 6) \cdot \left(x^{2} - 10\right)\]

Étape 1 : Multiplier les deux premiers binômes

Utilisons la formule des binômes conjugués :

\[(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}\]

Avec \(a = x\) et \(b = 6\) :

\[(x + 6)(x - 6) = x^{2} - 36\]

Étape 2 : Multiplier ce résultat par le troisième terme

Nous avons maintenant :

\[(x^{2} - 36) \cdot (x^{2} - 10)\]

Développons ce produit en utilisant la distributivité :

\[x^{2} \cdot x^{2} + x^{2} \cdot (-10) - 36 \cdot x^{2} - 36 \cdot (-10)\]

Calculons chaque terme :

• \(x^{2} \cdot x^{2} = x^{4}\)
• \(x^{2} \cdot (-10) = -10x^{2}\)
• \(-36 \cdot x^{2} = -36x^{2}\)
• \(-36 \cdot (-10) = 360\)

Additionnons tous les termes :

\[x^{4} - 10x^{2} - 36x^{2} + 360 = x^{4} - 46x^{2} + 360\]

Résultat Final

\[x^{4} - 46x^{2} + 360\]

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Exercice 6

Effectuer le produit suivant :

\[(2x - 3) \cdot \left(4x^{2} + 10\right) \cdot (2x + 3)\]

Étape 1 : Multiplier les deux premiers termes

Multiplions \((2x - 3)\) et \((4x^{2} + 10)\) en utilisant la distributivité :

\[(2x - 3)(4x^{2} + 10) = 2x \cdot 4x^{2} + 2x \cdot 10 - 3 \cdot 4x^{2} - 3 \cdot 10\]

Calculons chaque terme :

• \(2x \cdot 4x^{2} = 8x^{3}\)
• \(2x \cdot 10 = 20x\)
• \(-3 \cdot 4x^{2} = -12x^{2}\)
• \(-3 \cdot 10 = -30\)

Additionnons tous les termes :

\[8x^{3} + 20x - 12x^{2} - 30\]

Réorganisons les termes par ordre décroissant de puissance :

\[8x^{3} - 12x^{2} + 20x - 30\]

Étape 2 : Multiplier par le dernier terme

Nous avons maintenant :

\[(8x^{3} - 12x^{2} + 20x - 30) \cdot (2x + 3)\]

Appliquons la distributivité à nouveau :

\[8x^{3} \cdot 2x + 8x^{3} \cdot 3 - 12x^{2} \cdot 2x - 12x^{2} \cdot 3 + 20x \cdot 2x + 20x \cdot 3 - 30 \cdot 2x - 30 \cdot 3\]

Calculons chaque terme :

• \(8x^{3} \cdot 2x = 16x^{4}\)
• \(8x^{3} \cdot 3 = 24x^{3}\)
• \(-12x^{2} \cdot 2x = -24x^{3}\)
• \(-12x^{2} \cdot 3 = -36x^{2}\)
• \(20x \cdot 2x = 40x^{2}\)
• \(20x \cdot 3 = 60x\)
• \(-30 \cdot 2x = -60x\)
• \(-30 \cdot 3 = -90\)

Additionnons tous les termes :

\[16x^{4} + 24x^{3} - 24x^{3} - 36x^{2} + 40x^{2} + 60x - 60x - 90\]

Simplifions :

• Les termes en \(x^{3}\) s’annulent : \(24x^{3} - 24x^{3} = 0\)
• Les termes en \(x^{2}\) : \(-36x^{2} + 40x^{2} = 4x^{2}\)
• Les termes en \(x\) s’annulent : \(60x - 60x = 0\)

Il reste donc :

\[16x^{4} + 4x^{2} - 90\]

Résultat Final

\[16x^{4} + 4x^{2} - 90\]