Exercice 64

Effectuez et réduisez.

\(\left( 3 z^{2} - 4 \right)^{2} =\)
\(\left( 2 z^{2} + 7 \right)^{2} =\)
\(\left( 5 z^{2} \cdot 3 \right)^{2} =\)
\(\left( 2 z^{2} + 7 \right)\left( 2 z^{2} - 7 \right) =\)
\(\left( 2 z^{2} + 7 \right)\left( 7 - 2 z^{2} \right) =\)
\(\left( 2 z^{2} + 7 \right)\left( 6 z^{2} - 2 \right) =\)
\(\left( 9 x^{2} - 4 z \right)^{2} =\)
\(( 7 x - 4 z )( 4 z - 7 x ) =\)
\(( 8 x - 9 z )( 8 x + 9 z ) =\)
\(( 4 b \cdot 2 c )^{2} =\)
\(\left( 2 b^{2} - 3 \right)\left( 3 + 2 b^{2} \right) =\)
\(( 5 d + 6 e )^{2} =\)

Effectuez et réduisez.

\(3 b(b + c) =\)
\(12 k - 2 k =\)
\(( 3 p - q )^{2} =\)
\(( 4 p - 3 )( q + 2 ) =\)
\(( 4 m - 3 n ) - ( 4 m + 3 n ) =\)
\(( y + z + 2 )^{2} =\)
\(\left( 3 y^{2} \cdot 4 z \right)^{2} =\)
\(( 5 v - 3 )( w + 4 ) =\)
\(( 3 n - 4 m )^{2} =\)
\(y^{2}( y - z )( y + z ) =\)
\(( b + c + d )^{2} =\)
\(( 4 p - 6 q )( 6 p + 4 q ) =\)
\(( 16 p + 8 q )( 8 q - 16 p ) =\)
\(0.6( 3 b + c )^{2} =\)
\(( b - 2 + c )^{2} =\)
\(( 5 y - 2 )^{2} - ( 2 y + 9 )^{2} =\)
\(20 y - 4 y \cdot ( 10 - 12 y ) =\)
\(( 5 - 4 y ) \cdot ( 9 y + 7 ) + ( 18 y - 3 ) \cdot ( 2 - y ) =\)

Effectuez et réduisez.

\(\left( \frac{2}{3} x + 4 \right)^{2} =\)
\(\left( \frac{4}{3} x \cdot \frac{2}{5} y \right)^{2} =\)
\(\left( \frac{5}{9} x + \frac{2}{7} y \right)^{2} =\)
\(\left( \frac{3}{10} x + \frac{2}{10} y \right)\left( \frac{3}{10} x - \frac{2}{10} y \right) =\)
\(\left( \frac{5}{8} x - \frac{2}{5} y \right) - \left( \frac{5}{8} x + \frac{2}{5} y \right) =\)
\(\left( \frac{3}{4} x + 6 y \right)\left( \frac{3}{4} x + 6 y \right) =\)
\(\left( \frac{3}{4} x + 4 y \right)^{2} =\)
\(\left( \frac{2}{5} x - 4 \right) - \left( 4 x + \frac{2}{5} \right) =\)
\(\left( 2.\overline{5} x^{2} - 0.\overline{5} y \right)^{2} =\)
\(\left( \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \right)\left( \frac{2}{5} + \frac{2}{5} x \right) =\)

Réponse

Voici le résumé des réponses finales :

Première série
a) 9z⁴ – 24z² + 16
b) 4z⁴ + 28z² + 49
c) 225z⁴
d) 4z⁴ – 49
e) 49 – 4z⁴
f) 12z⁴ + 38z² – 14
g) 81x⁴ – 72x²z + 16z²
h) –49x² + 56xz – 16z²
i) 64x² – 81z²
j) 64b²c²
k) 4b⁴ – 9
l) 25d² + 60de + 36e²

Deuxième série
a) 3b² + 3bc
b) 10k
c) 9p² – 6pq + q²
d) 4pq + 8p – 3q – 6
e) –6n
f) y² + z² + 2yz + 4y + 4z + 4
g) 144y⁴z²
h) 5vw + 20v – 3w – 12
i) 9n² – 24nm + 16m²
j) y⁴ – y²z²
k) b² + c² + d² + 2bc + 2bd + 2cd
l) 24p² – 20pq – 24q²
m) 64q² – 256p²
n) 5,4b² + 3,6bc + 0,6c²
o) b² + c² + 2bc – 4b – 4c + 4
p) 21y² – 56y – 77
q) 48y² – 20y
r) –54y² + 56y + 29

Troisième série
a) (4/9)x² + (16/3)x + 16
b) (64/225)x²y²
c) (25/81)x² + (20/63)xy + (4/49)y²
d) (9/100)x² – (1/25)y²
e) –(4/5)y
f) (9/16)x² + 9xy + 36y²
g) (9/16)x² + 6xy + 16y²
h) –(18/5)x – (22/5)
i) (529x⁴ – 230x²y + 25y²)/81
j) (4/25)(x² – 1)

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque exercice. Nous allons procéder point par point en expliquant chaque étape afin que tout soit compréhensible.

────────────────────────────── Première série – Calculs avec des expressions en z, x, b, d, e

Calculer (3z² – 4)²
• Rappel : le carré d’une différence se développe en : (a – b)² = a² – 2ab + b².
• Ici, a = 3z² et b = 4.
• On calcule :
– (3z²)² = 9z⁴
– 2 × (3z²) × 4 = 24z²
– 4² = 16
• Donc (3z² – 4)² = 9z⁴ – 24z² + 16.

────────────────────────────── b) Calculer (2z² + 7)²
• Pour la somme, (a + b)² = a² + 2ab + b², avec a = 2z² et b = 7.
• On a :
– (2z²)² = 4z⁴
– 2 × (2z²) × 7 = 28z²
– 7² = 49
• Ainsi, (2z² + 7)² = 4z⁴ + 28z² + 49.

────────────────────────────── c) Calculer (5z² · 3)²
• D’abord, effectuer le produit à l’intérieur des parenthèses :
5z² · 3 = 15z².
• Ensuite, élever au carré :
(15z²)² = 15² · (z²)² = 225z⁴.

────────────────────────────── d) Calculer (2z² + 7)(2z² – 7)
• On reconnaît ici le produit de deux conjugaisons, qui se réduit par la formule :
(a + b)(a – b) = a² – b²
• Avec a = 2z² et b = 7, on trouve :
– (2z²)² = 4z⁴
– 7² = 49
• Donc (2z² + 7)(2z² – 7) = 4z⁴ – 49.

────────────────────────────── e) Calculer (2z² + 7)(7 – 2z²)
• Remarquez que (7 – 2z²) = –(2z² – 7).
• Ainsi :
(2z² + 7)(7 – 2z²) = –(2z² + 7)(2z² – 7).
• D’après le résultat de d), cela donne :
– (4z⁴ – 49) = 49 – 4z⁴.

────────────────────────────── f) Calculer (2z² + 7)(6z² – 2)
• Développons en multipliant chaque terme du premier facteur par chaque terme du second :
– 2z² × 6z² = 12z⁴
– 2z² × (–2) = –4z²
– 7 × 6z² = 42z²
– 7 × (–2) = –14
• Regroupons les termes semblables :
12z⁴ + (–4z² + 42z²) – 14 = 12z⁴ + 38z² – 14.

────────────────────────────── g) Calculer (9x² – 4z)²
• Ici a = 9x² et b = 4z.
• En appliquant (a – b)² = a² – 2ab + b², on obtient :
– (9x²)² = 81x⁴
– 2 × (9x²) × (4z) = 72x²z, et comme le terme est négatif, cela donne –72x²z
– (4z)² = 16z²
• Ainsi, (9x² – 4z)² = 81x⁴ – 72x²z + 16z².

────────────────────────────── h) Calculer (7x – 4z)(4z – 7x)
• On peut remarquer que le second facteur est l’opposé de (7x – 4z) puisque :
4z – 7x = –(7x – 4z).
• Par conséquent :
(7x – 4z)(4z – 7x) = –(7x – 4z)².
• En développant (7x – 4z)² :
– (7x)² = 49x²
– 2 × 7x × 4z = 56xz
– (4z)² = 16z²
ce qui donne (7x – 4z)² = 49x² – 56xz + 16z².
• Le signe moins devant entraine :
(7x – 4z)(4z – 7x) = –49x² + 56xz – 16z².

────────────────────────────── i) Calculer (8x – 9z)(8x + 9z)
• Il s’agit ici d’un produit de deux conjugués :
(a – b)(a + b) = a² – b²
• Avec a = 8x et b = 9z, on a :
(8x)² = 64x² et (9z)² = 81z²
• Ainsi, (8x – 9z)(8x + 9z) = 64x² – 81z².

────────────────────────────── j) Calculer (4b · 2c)²
• D’abord, effectuez le produit dans la parenthèse :
4b × 2c = 8bc.
• Ensuite, (8bc)² = 8² · b² · c² = 64b²c².

────────────────────────────── k) Calculer (2b² – 3)(3 + 2b²)
• On multiplie en utilisant la distributivité :
– 2b² × 3 = 6b²
– 2b² × 2b² = 4b⁴
– (–3) × 3 = –9
– (–3) × 2b² = –6b²
• On regroupe : 6b² – 6b² = 0, d’où :
4b⁴ – 9.

────────────────────────────── l) Calculer (5d + 6e)²
• En appliquant (a + b)² = a² + 2ab + b² avec a = 5d et b = 6e :
– (5d)² = 25d²
– 2 × 5d × 6e = 60de
– (6e)² = 36e²
• Donc (5d + 6e)² = 25d² + 60de + 36e².

────────────────────────────── Deuxième série – Calculs avec diverses lettres

Calculer 3b(b + c)
• On distribue 3b à l’intérieur de la parenthèse :
3b × b = 3b²
3b × c = 3bc
• Donc, 3b(b + c) = 3b² + 3bc.

────────────────────────────── b) Calculer 12k – 2k
• On regroupe les termes semblables en k :
12k – 2k = (12 – 2)k = 10k.

────────────────────────────── c) Calculer (3p – q)²
• On utilise la formule (a – b)² = a² – 2ab + b² avec a = 3p et b = q :
– (3p)² = 9p²
– 2 × 3p × q = 6pq
– q² = q²
• Ainsi, (3p – q)² = 9p² – 6pq + q².

────────────────────────────── d) Calculer (4p – 3)(q + 2)
• Développons en multipliant chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde :
4p × q = 4pq
4p × 2 = 8p
–3 × q = –3q
–3 × 2 = –6
• Par conséquent :
(4p – 3)(q + 2) = 4pq + 8p – 3q – 6.

────────────────────────────── e) Calculer (4m – 3n) – (4m + 3n)
• On soustrait terme à terme :
4m – 4m = 0
–3n – 3n = –6n
• Donc, (4m – 3n) – (4m + 3n) = –6n.

────────────────────────────── f) Calculer (y + z + 2)²
• Il s’agit du carré d’un trinôme. On peut appliquer la méthode de développement par étapes :
(y + z + 2)² = (y + z + 2)(y + z + 2).
• Développons en écrivant tous les produits :
– y × y = y²
– y × z = yz
– y × 2 = 2y
– z × y = zy = yz
– z × z = z²
– z × 2 = 2z
– 2 × y = 2y
– 2 × z = 2z
– 2 × 2 = 4
• En regroupant, on obtient :
y² + z² + 4 + (yz + yz) + (2y + 2y) + (2z + 2z)
= y² + z² + 4 + 2yz + 4y + 4z.

────────────────────────────── g) Calculer (3y² · 4z)²
• D’abord, multiplier 3y² par 4z :
3y² × 4z = 12y²z.
• Puis, élever au carré :
(12y²z)² = 144 · (y²)² · z² = 144 y⁴z².

────────────────────────────── h) Calculer (5v – 3)(w + 4)
• Développons le produit :
5v × w = 5vw
5v × 4 = 20v
–3 × w = –3w
–3 × 4 = –12
• Donc, (5v – 3)(w + 4) = 5vw + 20v – 3w – 12.

────────────────────────────── i) Calculer (3n – 4m)²
• En utilisant la formule du carré d’un binôme :
(3n – 4m)² = (3n)² – 2×3n×4m + (4m)²
= 9n² – 24nm + 16m².

────────────────────────────── j) Calculer y²(y – z)(y + z)
• On remarque que (y – z)(y + z) est une différence de carrés :
(y – z)(y + z) = y² – z².
• Ainsi, y²(y² – z²) = y⁴ – y²z².

────────────────────────────── k) Calculer (b + c + d)²
• Le carré d’un trinôme se développe ainsi :
(b + c + d)² = b² + c² + d² + 2bc + 2bd + 2cd.

────────────────────────────── l) Calculer (4p – 6q)(6p + 4q)
• Développons en multipliant chaque terme :
4p × 6p = 24p²
4p × 4q = 16pq
–6q × 6p = –36pq
–6q × 4q = –24q²
• Regroupons les termes en pq :
16pq – 36pq = –20pq
• Donc, (4p – 6q)(6p + 4q) = 24p² – 20pq – 24q².

────────────────────────────── m) Calculer (16p + 8q)(8q – 16p)
• On remarque que le second facteur est l’opposé de (16p – 8q) :
8q – 16p = –(16p – 8q).
• Ainsi, (16p + 8q)(8q – 16p) = –(16p + 8q)(16p – 8q).
• Ce produit est de la forme (a + b)(a – b) = a² – b² avec a = 16p et b = 8q :
a² = (16p)² = 256p²
b² = (8q)² = 64q²
• On a alors (16p – 8q)(16p + 8q) = 256p² – 64q².
• Avec le signe moins :
(16p + 8q)(8q – 16p) = –256p² + 64q²
que l’on peut écrire aussi : 64q² – 256p².

────────────────────────────── n) Calculer 0,6(3b + c)²
• D’abord, développons (3b + c)² :
(3b)² = 9b²
2 × 3b × c = 6bc
c² = c²
donc (3b + c)² = 9b² + 6bc + c².
• Ensuite, multiplier chaque terme par 0,6 :
0,6 × 9b² = 5,4b²
0,6 × 6bc = 3,6bc
0,6 × c² = 0,6c²
• Donc, 0,6(3b + c)² = 5,4b² + 3,6bc + 0,6c².

────────────────────────────── o) Calculer (b – 2 + c)²
• On peut réécrire l’expression sous la forme (b + c – 2)².
• Développons :
(b + c – 2)² = (b + c)² – 2×2(b + c) + 2².
• Tout d’abord, (b + c)² = b² + 2bc + c².
• Ensuite, –2×2(b + c) = –4b – 4c, et 2² = 4.
• Ainsi, (b + c – 2)² = b² + 2bc + c² – 4b – 4c + 4.

────────────────────────────── p) Calculer (5y – 2)² – (2y + 9)²
• On développe séparément chacun des carrés.
• Pour (5y – 2)² :
(5y)² = 25y²
2 × 5y × 2 = 20y
2² = 4
Donc, (5y – 2)² = 25y² – 20y + 4.
• Pour (2y + 9)² :
(2y)² = 4y²
2 × 2y × 9 = 36y
9² = 81
Donc, (2y + 9)² = 4y² + 36y + 81.
• La différence est :
(25y² – 20y + 4) – (4y² + 36y + 81)
= (25y² – 4y²) + (–20y – 36y) + (4 – 81)
= 21y² – 56y – 77.

────────────────────────────── q) Calculer 20y – 4y · (10 – 12y)
• Tout d’abord, développons le produit :
4y · (10 – 12y) = 40y – 48y².
• Ensuite, 20y – [40y – 48y²] = 20y – 40y + 48y²
= 48y² – 20y.

────────────────────────────── r) Calculer (5 – 4y)(9y + 7) + (18y – 3)(2 – y)
• Pour le premier produit (5 – 4y)(9y + 7) :
– 5 × 9y = 45y
– 5 × 7 = 35
– (–4y) × 9y = –36y²
– (–4y) × 7 = –28y
En sommant : –36y² + (45y – 28y) + 35 = –36y² + 17y + 35.
• Pour le second produit (18y – 3)(2 – y) :
– 18y × 2 = 36y
– 18y × (–y) = –18y²
– (–3) × 2 = –6
– (–3) × (–y) = 3y
En sommant : –18y² + (36y + 3y) – 6 = –18y² + 39y – 6.
• Additionnons les deux résultats :
(–36y² + 17y + 35) + (–18y² + 39y – 6)
= –54y² + 56y + 29.

────────────────────────────── Troisième série – Calculs avec des fractions et expressions en x, y

Note : Dans les écritures décimales, la virgule est utilisée.

Calculer ( (2/3)x + 4 )²
• Appliquons (a + b)² = a² + 2ab + b² avec a = (2/3)x et b = 4.
– a² = (2/3 x)² = 4/9 x²
– 2ab = 2 × (2/3)x × 4 = 16/3 x
– b² = 4² = 16
• Donc, ( (2/3)x + 4 )² = (4/9)x² + (16/3)x + 16.

────────────────────────────── b) Calculer ( (4/3)x · (2/5)y )²
• D’abord, multiplions à l’intérieur :
(4/3)x · (2/5)y = (8/15)xy.
• Ensuite, l’élévation au carré donne :
[(8/15)xy]² = (64/225)x²y².

────────────────────────────── c) Calculer ( (5/9)x + (2/7)y )²
• Utilisons la formule (a + b)², avec a = (5/9)x et b = (2/7)y.
– a² = (5/9 x)² = 25/81 x²
– 2ab = 2 × (5/9)x × (2/7)y = 20/63 xy
– b² = (2/7 y)² = 4/49 y²
• Ainsi, ( (5/9)x + (2/7)y )² = (25/81)x² + (20/63)xy + (4/49)y².

────────────────────────────── d) Calculer ( (3/10)x + (2/10)y ) ( (3/10)x – (2/10)y )
• C’est le produit de deux conjugués, qui s’écrit sous la forme a² – b² avec
a = (3/10)x et b = (2/10)y.
• On a :
– a² = (3/10 x)² = 9/100 x²
– b² = (2/10 y)² = 4/100 y²
• Donc, le résultat est : 9/100 x² – 4/100 y².
• On peut simplifier 4/100 en 1/25, ainsi : 9/100 x² – 1/25 y².

────────────────────────────── e) Calculer (5/8)x – (2/5)y – [ (5/8)x + (2/5)y ]
• On fait attention aux parenthèses et aux signes.
• Écrivons l’expression : (5/8)x – (2/5)y – (5/8)x – (2/5)y.
• Les termes (5/8)x – (5/8)x s’annulent, et on a :
–(2/5)y – (2/5)y = –(4/5)y.
• Donc, le résultat est –(4/5)y.

────────────────────────────── f) Calculer ( (3/4)x + 6y )²
• On utilise (a + b)², avec a = (3/4)x et b = 6y.
– a² = (3/4 x)² = 9/16 x²
– 2ab = 2 × (3/4)x × 6y = (2 × 18/4)xy = (36/4)xy = 9xy
– b² = (6y)² = 36y²
• Ainsi, ( (3/4)x + 6y )² = 9/16 x² + 9xy + 36y².

────────────────────────────── g) Calculer ( (3/4)x + 4y )²
• Appliquons la formule avec a = (3/4)x et b = 4y :
– a² = (3/4 x)² = 9/16 x²
– 2ab = 2 × (3/4)x × 4y = 2 × 3x y = 6xy
– b² = (4y)² = 16y²
• Donc, ( (3/4)x + 4y )² = 9/16 x² + 6xy + 16y².

────────────────────────────── h) Calculer (2/5)x – 4 – [4x + (2/5)]
• Déroulons la soustraction :
= (2/5)x – 4 – 4x – (2/5).
• Regroupons les coefficients de x :
(2/5)x – 4x = (2/5 – 20/5)x = –18/5 x
• Ensuite, les constantes : –4 – (2/5) = –(20/5 + 2/5) = –22/5.
• Le résultat est donc : –18/5 x – 22/5.

────────────────────────────── i) Calculer (2,̅5 x² – 0,̅5 y)²
(Note : L’écriture 2,̅5 signifie un nombre décimal périodique. On va convertir ces nombres en fractions.)
• On reconnaît que 0,̅5 signifie 0,555… ou, plus communément, 5/9.
• De même, 2,̅5 = 2 + 0,̅5 = 2 + 5/9 = (18/9 + 5/9) = 23/9.
• Ainsi, l’expression s’écrit : (23/9 x² – 5/9 y)².
• On factorise 1/9 : = [1/9 (23x² – 5y)]² = 1/81 (23x² – 5y)².
• Développons (23x² – 5y)² :
– (23x²)² = 529x⁴
– 2 × 23x² × 5y = 230x²y
– (5y)² = 25y²
• Ainsi, (23x² – 5y)² = 529x⁴ – 230x²y + 25y², et en tenant compte du facteur 1/81,
la réponse est (529x⁴ – 230x²y + 25y²)/81.

────────────────────────────── j) Calculer ( (2/5)x – (2/5) ) ( (2/5) + (2/5)x )
• Remarquons que l’on peut réécrire chaque facteur en factorisant (2/5) :
– (2/5)x – (2/5) = (2/5)(x – 1)
– (2/5) + (2/5)x = (2/5)(1 + x) = (2/5)(x + 1)
• Le produit devient : (2/5)(x – 1) × (2/5)(x + 1) = (4/25)(x – 1)(x + 1).
• Comme (x – 1)(x + 1) = x² – 1, on a donc : (4/25)(x² – 1).

────────────────────────────── Conclusion

Chaque expression a été réduite en appliquant les formules usuelles de développement (carré d’un binôme, produit de conjugués, distributivité, etc.). Vous pouvez retrouver ici les réponses finales pour chaque item :

Première série  a) 9z⁴ – 24z² + 16
b) 4z⁴ + 28z² + 49
c) 225z⁴
d) 4z⁴ – 49
e) 49 – 4z⁴
f) 12z⁴ + 38z² – 14
g) 81x⁴ – 72x²z + 16z²
h) –49x² + 56xz – 16z²
i) 64x² – 81z²
j) 64b²c²
k) 4b⁴ – 9
l) 25d² + 60de + 36e²

Troisième série
a) (4/9)x² + (16/3)x + 16
b) (64/225)x²y²
c) (25/81)x² + (20/63)xy + (4/49)y²
d) 9/100 x² – 1/25 y²
e) –(4/5)y
f) 9/16 x² + 9xy + 36y²
g) 9/16 x² + 6xy + 16y²
h) –18/5 x – 22/5
i) (529x⁴ – 230x²y + 25y²)/81
j) (4/25)(x² – 1)

Chaque étape a été expliquée pour vous aider à comprendre le processus de développement et de réduction de ces expressions. N’hésitez pas à reprendre ces calculs pour vous entraîner.