Exercice 59

Calculer à l’aide des produits remarquables :

1. \(\left(\frac{1}{2} x^{2} + 1\right)^{2} \cdot \left(\frac{1}{2} x^{2} - 1\right)^{2} - \frac{1}{2} x^{4} \cdot \left(2 - \frac{1}{2} x^{4}\right)\)

2. \(-2 x^{2} \cdot (y - 2x)^{2} - \left(x^{2} + y\right) \cdot \left(x^{2} - y\right) + \frac{x^{2} y^{2}}{2}\)

3. \(\left(a^{7} - b^{7}\right)^{2} \cdot \left(a^{7} + b^{7}\right)^{2} - \left(a^{14} + b^{14}\right)^{2}\)

4. \(\left(\frac{1}{3} a^{3} - \frac{2}{3} b^{3}\right)^{2} - \left(\frac{2}{3} a^{3} - 2 b^{3}\right)^{2} + \left(a^{3} + b^{3}\right) \cdot \left(b^{3} - a^{3}\right)\)

5. \((0{,}1\,a - 0{,}2\,b) \cdot (3\,a - 0{,}2\,b - 2{,}9\,a) - (2\,a - b)^{2}\)

6. \((4x - 5y)^{2} \cdot (5y + 4x)^{2} - \left(2x^{2} + 3y^{2}\right)^{2}\)

Réponse

Voici le résumé très court des réponses :

1) E₁ = (5/16)x⁸ – (3/2)x⁴ + 1
2) E₂ = –9x⁴ + 8x³y – (3/2)x²y² + y²
3) E₃ = –4a¹⁴b¹⁴
4) E₄ = [–12a⁶ + 20a³b³ – 23b⁶] / 9
5) E₅ = –(19a – 8b)(21a – 12b) / 100
6) E₆ = 28 (x² – 2y²)(9x² – 11y²)

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chacune des expressions en utilisant les produits remarquables et en détaillant les étapes de simplification.

────────────────────────────── Exercice 1)

On souhaite simplifier :

  E₁ = [(½ x² + 1)² · (½ x² – 1)²] – (½ x⁴ · (2 – ½ x⁴)).

Étape 1. Regrouper les deux premiers carrés
Remarquons que
  (½ x² + 1)² · (½ x² – 1)² = [(½ x² + 1)(½ x² – 1)]².
Mais le produit (a + b)(a – b) se simplifie avec la formule « différence de carrés » :
  (½ x² + 1)(½ x² – 1) = (½ x²)² – 1² = ¼ x⁴ – 1.

Ainsi,
  E₁ = (¼ x⁴ – 1)² – (½ x⁴ · (2 – ½ x⁴)).

Étape 2. Développer le premier carré
Calculons (¼ x⁴ – 1)² :
  (¼ x⁴ – 1)² = (¼ x⁴)² – 2·(¼ x⁴)·1 + 1²
         = 1/16 x⁸ – ½ x⁴ + 1.

Étape 3. Développer le second terme
Calculons ½ x⁴ · (2 – ½ x⁴) :
  ½ x⁴ · 2 = x⁴
  ½ x⁴ · (½ x⁴) = 1/4 x⁸
donc
  ½ x⁴ · (2 – ½ x⁴) = x⁴ – 1/4 x⁸.

Étape 4. Soustraire
On a donc :
  E₁ = [1/16 x⁸ – ½ x⁴ + 1] – [x⁴ – ¼ x⁸].
Réunissons les termes semblables :   • Pour x⁸ : 1/16 x⁸ + 1/4 x⁸ = (1/16 + 4/16)x⁸ = 5/16 x⁸
  • Pour x⁴ : –½ x⁴ – x⁴ = –(½ + 1)x⁴ = –3/2 x⁴
  • Terme constant : + 1

La forme simplifiée est donc :

  E₁ = (5/16)x⁸ – (3/2)x⁴ + 1.

────────────────────────────── Exercice 2)

On souhaite simplifier :

  E₂ = –2x²·(y – 2x)² – (x² + y)(x² – y) + (x²y²)/2.

Étape 1. Simplifier le deuxième terme
Le produit (x² + y)(x² – y) est une différence de carrés :   (x² + y)(x² – y) = (x²)² – y² = x⁴ – y².
Donc le deuxième terme devient – (x⁴ – y²) = –x⁴ + y².

Étape 2. Développer le premier terme
Développons (y – 2x)² :
  (y – 2x)² = y² – 4xy + 4x².
Ensuite,
  –2x² · (y² – 4xy + 4x²) = –2x²y² + 8x³y – 8x⁴.

Étape 3. Réunir tous les termes
On a maintenant :

  E₂ = [–2x²y² + 8x³y – 8x⁴] + [–x⁴ + y²] + (x²y²)/2.

Regroupons :   • Termes en x⁴ : –8x⁴ – x⁴ = –9x⁴
  • Termes en x²y² : –2x²y² + (1/2)x²y² = –(4/2 – 1/2)x²y² = –(3/2)x²y²
  • Terme en x³y : +8x³y
  • Terme constant en y² : +y²

Ainsi, la forme simplifiée est :

  E₂ = –9x⁴ + 8x³y – (3/2)x²y² + y².

────────────────────────────── Exercice 3)

On souhaite simplifier :

  E₃ = (a⁷ – b⁷)² · (a⁷ + b⁷)² – (a¹⁴ + b¹⁴)².

Étape 1. Combiner les deux carrés
On remarque que
  (a⁷ – b⁷)² · (a⁷ + b⁷)² = [(a⁷ – b⁷)(a⁷ + b⁷)]².
Mais (a⁷ – b⁷)(a⁷ + b⁷) est une différence de carrés :
  (a⁷)² – (b⁷)² = a¹⁴ – b¹⁴.
Donc la première partie devient (a¹⁴ – b¹⁴)².

Étape 2. Identifier la forme différence de deux carrés
L’expression se transforme en :   E₃ = (a¹⁴ – b¹⁴)² – (a¹⁴ + b¹⁴)².
On est dans la situation de : A² – B², avec A = a¹⁴ – b¹⁴ et B = a¹⁴ + b¹⁴.
On se souvient que :
  (A – B)(A + B) = (a¹⁴ – b¹⁴ – (a¹⁴ + b¹⁴))·(a¹⁴ – b¹⁴ + (a¹⁴ + b¹⁴)).
Calculons :   A – B = (a¹⁴ – b¹⁴) – (a¹⁴ + b¹⁴) = –2b¹⁴,
  A + B = (a¹⁴ – b¹⁴) + (a¹⁴ + b¹⁴) = 2a¹⁴.

Ainsi,
  E₃ = (–2b¹⁴)·(2a¹⁴) = –4a¹⁴b¹⁴.

────────────────────────────── Exercice 4)

On souhaite simplifier :

  E₄ = (⅓a³ – 2⁄3b³)² – (2⁄3a³ – 2b³)² + (a³+b³)(b³–a³).

Étape 1. Développer le premier carré
Calculons (⅓a³ – 2⁄3b³)² :   = (⅓a³)² – 2·(⅓a³)(2⁄3b³) + (2⁄3b³)²
  = 1/9 a⁶ – (4/9)a³b³ + 4/9 b⁶.

Étape 2. Développer le second carré
Calculons (2⁄3a³ – 2b³)² :   = (2⁄3a³)² – 2·(2⁄3a³)(2b³) + (2b³)²
  = 4/9 a⁶ – (8/3)a³b³ + 4b⁶.

Étape 3. Soustraire le second du premier
On a alors :   (1/9a⁶ – 4/9a³b³ + 4/9b⁶) – (4/9a⁶ – 8/3a³b³ + 4b⁶).
Faisons la soustraction terme par terme :

• Pour a⁶ : (1/9 – 4/9) a⁶ = –3/9 a⁶ = –1/3 a⁶.
• Pour a³b³ : (–4/9 – (–8/3)) a³b³ = –4/9 + 8/3 = –4/9 + 24/9 = 20/9 a³b³.
• Pour b⁶ : (4/9 – 4) b⁶ = 4/9 – 36/9 = –32/9 b⁶.

Étape 4. Calculer le troisième terme
Le terme (a³+b³)(b³–a³) se reconnaît comme une différence de carrés (en remarquant que (a³+b³)(b³–a³) = b⁶ – a⁶).

Étape 5. Additionner tous les termes
On ajoute ce résultat aux précédents :
  E₄ = [–1/3 a⁶ + 20/9 a³b³ – 32/9 b⁶] + [b⁶ – a⁶].
Regroupons :   • Terme en a⁶ : –1/3 a⁶ – a⁶ = –(1/3 + 1)a⁶ = –4/3 a⁶.
  • Terme en a³b³ : 20/9 a³b³.
  • Terme en b⁶ : –32/9 b⁶ + b⁶ = –32/9 b⁶ + 9/9 b⁶ = –23/9 b⁶.

On obtient donc :

  E₄ = –(4/3)a⁶ + (20/9)a³b³ – (23/9)b⁶.
On peut aussi écrire cette expression sous la forme factorisée par 1/9 :

  E₄ = [–12a⁶ + 20a³b³ – 23b⁶] / 9.

────────────────────────────── Exercice 5)

On souhaite simplifier :

  E₅ = (0,1·a – 0,2·b) · (3a – 0,2·b – 2,9·a) – (2a – b)².

Attention aux nombres décimaux ; en les écrivant sous forme décimale standard, on a :
  0,1a = 0.1a, 0,2b = 0.2b, 2,9a = 2.9a.

Étape 1. Simplifier la parenthèse du produit
Regroupons les termes dans la deuxième parenthèse :   3a – 2.9a = 0.1a,
donc
  3a – 0.2b – 2.9a = 0.1a – 0.2b.

L’expression devient alors :   E₅ = (0.1a – 0.2b) · (0.1a – 0.2b) – (2a – b)²
     = (0.1a – 0.2b)² – (2a – b)².

Étape 2. Utiliser la différence de carrés
On reconnaît ici la forme U² – V² avec U = (0.1a – 0.2b) et V = (2a – b).
On peut écrire :   U² – V² = (U – V)(U + V).

Calculons U – V :   (0.1a – 0.2b) – (2a – b) = 0.1a – 0.2b – 2a + b
            = (0.1a – 2a) + (–0.2b + b)
            = –1.9a + 0.8b.

Calculons U + V :   (0.1a – 0.2b) + (2a – b) = 0.1a + 2a – 0.2b – b
            = 2.1a – 1.2b.

Ainsi,
  E₅ = (–1.9a + 0.8b) · (2.1a – 1.2b).

Pour éviter les décimaux, on peut multiplier numérateur et dénominateur par 10. Écrivons :
  –1.9a + 0.8b = (–19a + 8b)/10,
  2.1a – 1.2b = (21a – 12b)/10.

Donc :

  E₅ = [ (–19a + 8b)/10 · (21a – 12b)/10 ] = ((–19a + 8b)(21a – 12b)) / 100.

On peut également extraire un moins pour obtenir :

  E₅ = –(19a – 8b)(21a – 12b) / 100.

────────────────────────────── Exercice 6)

On souhaite simplifier :

  E₆ = (4x – 5y)² · (5y + 4x)² – (2x² + 3y²)².

Étape 1. Réécrire le produit
Notez que (5y + 4x) = (4x + 5y) et que le produit (4x – 5y)(4x + 5y) est une différence de carrés :   (4x – 5y)(4x + 5y) = (4x)² – (5y)² = 16x² – 25y². Donc :   (4x – 5y)² · (5y + 4x)² = [(4x – 5y)(4x + 5y)]² = (16x² – 25y²)².

L’expression devient alors :   E₆ = (16x² – 25y²)² – (2x² + 3y²)².

Étape 2. Utiliser la différence de deux carrés
On est dans le cas A² – B² avec :   A = 16x² – 25y²  et  B = 2x² + 3y². On écrit :   A² – B² = (A – B)(A + B).

Calculons A – B :   (16x² – 25y²) – (2x² + 3y²) = (16x² – 2x²) + (–25y² – 3y²)
       = 14x² – 28y²
       = 14(x² – 2y²).

Calculons A + B :   (16x² – 25y²) + (2x² + 3y²) = (16x² + 2x²) + (–25y² + 3y²)
       = 18x² – 22y²
       = 2(9x² – 11y²).

Ainsi,
  E₆ = [14(x² – 2y²)] · [2(9x² – 11y²)] = 28 (x² – 2y²)(9x² – 11y²).

────────────────────────────── Réponses finales

1) E₁ = (5/16)x⁸ – (3/2)x⁴ + 1

2) E₂ = –9x⁴ + 8x³y – (3/2)x²y² + y²

3) E₃ = –4·a¹⁴·b¹⁴

4) E₄ = [–12a⁶ + 20a³b³ – 23b⁶] / 9

5) E₅ = –(19a – 8b)(21a – 12b) / 100

6) E₆ = 28 (x² – 2y²)(9x² – 11y²)

Chaque étape fait appel aux formules classiques (développement de carrés, différence de carrés) et permet d’arriver à une forme simplifiée. Ces explications détaillées devraient vous aider à bien comprendre la démarche.