Exercice 58

Calculer à l’aide des produits remarquables :

1. \((-4 a + 2 b + 3 a)^{2}\)
   
2. \((x - 2 y + 4 x + y)^{2}\)
   
3. \((2 v - w + 4 w - v)^{2}\)
   
4. \(\left(-\frac{1}{3} a + 3 b + a\right)^{2}\)
   
5. \(\left(5 a^{2} - 7 b^{2} + 2 a^{2} + 6 b^{2}\right)^{2}\)
   
6. \((2 a - 5 b + a) \cdot (3 b + 3 a - 8 b)\)

Réponse

Résumé des corrigés :

1. \[ (-4a + 2b + 3a)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2 \]

2. \[ (x - 2y + 4x + y)^2 = 25x^2 - 10xy + y^2 \]

3. \[ (2v - w + 4w - v)^2 = v^2 + 6vw + 9w^2 \]

4. \[ \left(-\frac{1}{3}a + 3b + a\right)^2 = \frac{4}{9}a^2 + 4ab + 9b^2 \]

5. \[ \left(5a^2 - 7b^2 + 2a^2 + 6b^2\right)^2 = 49a^4 - 14a^2b^2 + b^4 \]

6. \[ (2a - 5b + a) \cdot (3b + 3a - 8b) = 9a^2 - 30ab + 25b^2 \]

Corrigé détaillé

Corrigé des Exercices

Exercice 1

Calculer à l’aide des produits remarquables :

\[ (-4a + 2b + 3a)^2 \]

Étapes de la résolution

1. Simplifier l’expression à l’intérieur de la parenthèse :

   \[ -4a + 3a = -a \]

   Ainsi, l’expression devient :

   \[ (-a + 2b)^2 \]

2. Appliquer la formule du carré d’une somme :

   La formule générale est :

   \[ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \]

   Dans notre cas, \(x = -a\) et \(y = 2b\).

3. Calculer chaque terme :

   • \(x^2 = (-a)^2 = a^2\)
   • \(2xy = 2 \times (-a) \times 2b = -4ab\)
   • \(y^2 = (2b)^2 = 4b^2\)

4. Assembler les résultats :

   \[ a^2 - 4ab + 4b^2 \]

Résultat final

\[ (-4a + 2b + 3a)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2 \]

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Exercice 2

Calculer à l’aide des produits remarquables :

\[ (x - 2y + 4x + y)^2 \]

Étapes de la résolution

1. Simplifier l’expression à l’intérieur de la parenthèse :

   \[ x + 4x = 5x \quad \text{et} \quad -2y + y = -y \]

   Ainsi, l’expression devient :

   \[ (5x - y)^2 \]

2. Appliquer la formule du carré d’une somme :

   La formule générale est :

   \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

   Dans notre cas, \(a = 5x\) et \(b = -y\).

3. Calculer chaque terme :

   • \(a^2 = (5x)^2 = 25x^2\)
   • \(2ab = 2 \times 5x \times (-y) = -10xy\)
   • \(b^2 = (-y)^2 = y^2\)

4. Assembler les résultats :

   \[ 25x^2 - 10xy + y^2 \]

Résultat final

\[ (x - 2y + 4x + y)^2 = 25x^2 - 10xy + y^2 \]

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Exercice 3

Calculer à l’aide des produits remarquables :

\[ (2v - w + 4w - v)^2 \]

Étapes de la résolution

1. Simplifier l’expression à l’intérieur de la parenthèse :

   \[ 2v - v = v \quad \text{et} \quad -w + 4w = 3w \]

   Ainsi, l’expression devient :

   \[ (v + 3w)^2 \]

2. Appliquer la formule du carré d’une somme :

   La formule générale est :

   \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

   Dans notre cas, \(a = v\) et \(b = 3w\).

3. Calculer chaque terme :

   • \(a^2 = v^2\)
   • \(2ab = 2 \times v \times 3w = 6vw\)
   • \(b^2 = (3w)^2 = 9w^2\)

4. Assembler les résultats :

   \[ v^2 + 6vw + 9w^2 \]

Résultat final

\[ (2v - w + 4w - v)^2 = v^2 + 6vw + 9w^2 \]

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Exercice 4

Calculer à l’aide des produits remarquables :

\[ \left(-\frac{1}{3}a + 3b + a\right)^2 \]

Étapes de la résolution

1. Simplifier l’expression à l’intérieur de la parenthèse :

   \[ -\frac{1}{3}a + a = \frac{2}{3}a \quad \text{et} \quad 3b \]

   Ainsi, l’expression devient :

   \[ \left(\frac{2}{3}a + 3b\right)^2 \]

2. Appliquer la formule du carré d’une somme :

   La formule générale est :

   \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

   Dans notre cas, \(a = \frac{2}{3}a\) et \(b = 3b\).

3. Calculer chaque terme :

   • \(a^2 = \left(\frac{2}{3}a\right)^2 = \frac{4}{9}a^2\)
   • \(2ab = 2 \times \frac{2}{3}a \times 3b = 4ab\)
   • \(b^2 = (3b)^2 = 9b^2\)

4. Assembler les résultats :

   \[ \frac{4}{9}a^2 + 4ab + 9b^2 \]

Résultat final

\[ \left(-\frac{1}{3}a + 3b + a\right)^2 = \frac{4}{9}a^2 + 4ab + 9b^2 \]

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Exercice 5

Calculer à l’aide des produits remarquables :

\[ \left(5a^2 - 7b^2 + 2a^2 + 6b^2\right)^2 \]

Étapes de la résolution

1. Simplifier l’expression à l’intérieur de la parenthèse :

   \[ 5a^2 + 2a^2 = 7a^2 \quad \text{et} \quad -7b^2 + 6b^2 = -b^2 \]

   Ainsi, l’expression devient :

   \[ (7a^2 - b^2)^2 \]

2. Appliquer la formule du carré d’une différence :

   La formule générale est :

   \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

   Dans notre cas, \(a = 7a^2\) et \(b = b^2\).

3. Calculer chaque terme :

   • \(a^2 = (7a^2)^2 = 49a^4\)
   • \(2ab = 2 \times 7a^2 \times b^2 = 14a^2b^2\)
   • \(b^2 = (b^2)^2 = b^4\)

4. Assembler les résultats :

   \[ 49a^4 - 14a^2b^2 + b^4 \]

Résultat final

\[ \left(5a^2 - 7b^2 + 2a^2 + 6b^2\right)^2 = 49a^4 - 14a^2b^2 + b^4 \]

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Exercice 6

Calculer à l’aide des produits remarquables :

\[ (2a - 5b + a) \cdot (3b + 3a - 8b) \]

Étapes de la résolution

1. Simplifier chaque expression entre parenthèses :

   • Première parenthèse : \[ 2a + a = 3a \quad \text{et} \quad -5b \] Ainsi, \(2a - 5b + a = 3a - 5b\)

   • Deuxième parenthèse : \[ 3b - 8b = -5b \quad \text{et} \quad 3a \] Ainsi, \(3b + 3a - 8b = 3a - 5b\)

2. Réécrire le produit simplifié :

   \[ (3a - 5b) \cdot (3a - 5b) = (3a - 5b)^2 \]

3. Appliquer la formule du carré d’une différence :

   La formule générale est :

   \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

   Dans notre cas, \(a = 3a\) et \(b = 5b\).

4. Calculer chaque terme :

   • \(a^2 = (3a)^2 = 9a^2\)
   • \(2ab = 2 \times 3a \times 5b = 30ab\)
   • \(b^2 = (5b)^2 = 25b^2\)

5. Assembler les résultats :

   \[ 9a^2 - 30ab + 25b^2 \]

Résultat final

\[ (2a - 5b + a) \cdot (3b + 3a - 8b) = 9a^2 - 30ab + 25b^2 \]