Factoriser à l’aide des produits remarquables :
Toutes les expressions sont factorisées en carrés de binômes en appliquant les produits remarquables. Par exemple, \(x^{2} + 2xy + y^{2} = (x + y)^{2}\) et \(4a^{2} - 4ax + x^{2} = (2a - x)^{2}\).
Étape 1 : Identifier la forme
L’expression \(x^{2} + 2xy + y^{2}\) ressemble au produit remarquable du carré d’une somme, qui est : \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Étape 2 : Comparer les termes
En comparant, on remarque que : \[ a = x \quad \text{et} \quad b = y \]
Étape 3 : Écrire le facteur
Ainsi, l’expression peut être factorisée comme : \[ (x + y)^2 \]
Réponse : \[ x^{2} + 2xy + y^{2} = (x + y)^{2} \]
Étape 1 : Réorganiser les termes
Réécrivons l’expression pour mettre les termes similaires côte à côte : \[ 4a^{2} + 4ab + b^{2} \]
Étape 2 : Identifier le produit remarquable
Cette expression correspond également au carré d’une somme : \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] Cependant, dans notre cas, le coefficient de \(a^2\) est 4, donc ajustons.
Étape 3 : Ajuster les termes
Notons que : \[ 4a^{2} = (2a)^2 \quad \text{et} \quad 4ab = 2 \times 2a \times b \]
Étape 4 : Écrire le facteur
Ainsi, l’expression peut être factorisée comme : \[ (2a + b)^2 \]
Réponse : \[ 4a^{2} + b^{2} + 4ab = (2a + b)^{2} \]
Étape 1 : Reconnaître une structure similaire
L’expression \(x^{4} + 2x^{2}y^{2} + y^{4}\) ressemble au carré d’une somme où chaque terme est élevé au carré.
Étape 2 : Identifier les termes
Observons que : \[ x^{4} = (x^{2})^{2} \quad \text{et} \quad y^{4} = (y^{2})^{2} \] Le terme central est : \[ 2x^{2}y^{2} = 2 \times x^{2} \times y^{2} \]
Étape 3 : Appliquer le produit remarquable
Ainsi, l’expression peut être factorisée comme : \[ (x^{2} + y^{2})^{2} \]
Réponse : \[ x^{4} + 2x^{2}y^{2} + y^{4} = (x^{2} + y^{2})^{2} \]
Étape 1 : Réorganiser l’expression
Réarrangeons les termes pour mieux voir la structure : \[ 4a^{2} - 4ax + x^{2} \]
Étape 2 : Identifier le produit remarquable
Cette expression correspond au carré d’une différence : \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] Ici, nous avons : \[ 4a^{2} = (2a)^2 \quad \text{et} \quad x^{2} = x^2 \] Le terme central est : \[ -4ax = -2 \times 2a \times x \]
Étape 3 : Écrire le facteur
Ainsi, l’expression peut être factorisée comme : \[ (2a - x)^2 \]
Réponse : \[ 4a^{2} - 4ax + x^{2} = (2a - x)^{2} \]
Étape 1 : Réécrire l’expression
Observons que chaque terme est un carré : \[ 9a^{4} = (3a^{2})^2 \quad \text{et} \quad b^{6} = (b^{3})^2 \] Le terme central est : \[ -6a^{2}b^{3} = -2 \times 3a^{2} \times b^{3} \]
Étape 2 : Identifier le produit remarquable
L’expression correspond au carré d’une différence : \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] Appliqué ici : \[ (3a^{2} - b^{3})^{2} = 9a^{4} - 6a^{2}b^{3} + b^{6} \]
Réponse : \[ 9a^{4} - 6a^{2}b^{3} + b^{6} = (3a^{2} - b^{3})^{2} \]
Étape 1 : Simplifier l’expression
Commençons par observer les puissances dans l’expression : \[ x^{8} = (x^{4})^{2} \quad \text{et} \quad y^{6} = (y^{3})^{2} \] Le terme central est : \[ -2x^{4}y^{3} = -2 \times x^{4} \times y^{3} \]
Étape 2 : Identifier le produit remarquable
L’expression correspond au carré d’une différence : \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] En remplaçant, on obtient : \[ (x^{4} - y^{3})^{2} = x^{8} - 2x^{4}y^{3} + y^{6} \]
Réponse : \[ x^{8} - 2x^{4}y^{3} + y^{6} = (x^{4} - y^{3})^{2} \]
Ces factorisations utilisent les produits remarquables, notamment le carré d’une somme ou d’une différence. En identifiant les termes appropriés, il devient plus simple de réécrire les expressions de manière factorisée.