Développez les expressions suivantes en utilisant les produits remarquables :
Réponses :
\((a^{n} + b^{n})^{2} = a^{2n} + 2a^{n}b^{n} + b^{2n}\)
\((x^{2n} - y^{n})^{2} = x^{4n} - 2x^{2n}y^{n} + y^{2n}\)
\((3x^{n} + y^{2})^{2} = 9x^{2n} + 6x^{n}y^{2} + y^{4}\)
\((4x^{2n} + y^{n})^{2} = 16x^{4n} + 8x^{2n}y^{n} + y^{2n}\)
\((x^{n-1} + x^{n+1})^{2} = x^{2n-2} + 2x^{2n} + x^{2n+2}\)
\((3a^{n} - 2a^{n-2})^{2} = 9a^{2n} - 12a^{2n-2} + 4a^{2n-4}\)
Bien sûr, développons chaque expression en utilisant les produits remarquables. Nous utiliserons principalement la formule suivante pour le carré d’une somme ou d’une différence :
\[ (A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2 \]
Étape 1 : Identifions \(A\) et \(B\).
\[ A = a^{n} \quad \text{et} \quad B = b^{n} \]
Étape 2 : Appliquons la formule du carré d’une somme.
\[ \left(a^{n} + b^{n}\right)^{2} = (a^{n})^{2} + 2 \cdot a^{n} \cdot b^{n} + (b^{n})^{2} \]
Étape 3 : Calculons chaque terme.
\[ (a^{n})^{2} = a^{2n} \] \[ 2 \cdot a^{n} \cdot b^{n} = 2a^{n}b^{n} \] \[ (b^{n})^{2} = b^{2n} \]
Étape 4 : Assemblez les termes développés.
\[ \left(a^{n} + b^{n}\right)^{2} = a^{2n} + 2a^{n}b^{n} + b^{2n} \]
Étape 1 : Identifions \(A\) et \(B\).
\[ A = x^{2n} \quad \text{et} \quad B = y^{n} \]
Étape 2 : Appliquons la formule du carré d’une différence.
\[ \left(x^{2n} - y^{n}\right)^{2} = (x^{2n})^{2} - 2 \cdot x^{2n} \cdot y^{n} + (y^{n})^{2} \]
Étape 3 : Calculons chaque terme.
\[ (x^{2n})^{2} = x^{4n} \] \[ -2 \cdot x^{2n} \cdot y^{n} = -2x^{2n}y^{n} \] \[ (y^{n})^{2} = y^{2n} \]
Étape 4 : Assemblez les termes développés.
\[ \left(x^{2n} - y^{n}\right)^{2} = x^{4n} - 2x^{2n}y^{n} + y^{2n} \]
Étape 1 : Identifions \(A\) et \(B\).
\[ A = 3x^{n} \quad \text{et} \quad B = y^{2} \]
Étape 2 : Appliquons la formule du carré d’une somme.
\[ \left(3x^{n} + y^{2}\right)^{2} = (3x^{n})^{2} + 2 \cdot 3x^{n} \cdot y^{2} + (y^{2})^{2} \]
Étape 3 : Calculons chaque terme.
\[ (3x^{n})^{2} = 9x^{2n} \] \[ 2 \cdot 3x^{n} \cdot y^{2} = 6x^{n}y^{2} \] \[ (y^{2})^{2} = y^{4} \]
Étape 4 : Assemblez les termes développés.
\[ \left(3x^{n} + y^{2}\right)^{2} = 9x^{2n} + 6x^{n}y^{2} + y^{4} \]
Étape 1 : Identifions \(A\) et \(B\).
\[ A = 4x^{2n} \quad \text{et} \quad B = y^{n} \]
Étape 2 : Appliquons la formule du carré d’une somme.
\[ \left(4x^{2n} + y^{n}\right)^{2} = (4x^{2n})^{2} + 2 \cdot 4x^{2n} \cdot y^{n} + (y^{n})^{2} \]
Étape 3 : Calculons chaque terme.
\[ (4x^{2n})^{2} = 16x^{4n} \] \[ 2 \cdot 4x^{2n} \cdot y^{n} = 8x^{2n}y^{n} \] \[ (y^{n})^{2} = y^{2n} \]
Étape 4 : Assemblez les termes développés.
\[ \left(4x^{2n} + y^{n}\right)^{2} = 16x^{4n} + 8x^{2n}y^{n} + y^{2n} \]
Étape 1 : Identifions \(A\) et \(B\).
\[ A = x^{n-1} \quad \text{et} \quad B = x^{n+1} \]
Étape 2 : Appliquons la formule du carré d’une somme.
\[ \left(x^{n-1} + x^{n+1}\right)^{2} = (x^{n-1})^{2} + 2 \cdot x^{n-1} \cdot x^{n+1} + (x^{n+1})^{2} \]
Étape 3 : Calculons chaque terme en utilisant les propriétés des exposants.
\[ (x^{n-1})^{2} = x^{2(n-1)} = x^{2n - 2} \] \[ 2 \cdot x^{n-1} \cdot x^{n+1} = 2x^{(n-1)+(n+1)} = 2x^{2n} \] \[ (x^{n+1})^{2} = x^{2(n+1)} = x^{2n + 2} \]
Étape 4 : Assemblez les termes développés.
\[ \left(x^{n-1} + x^{n+1}\right)^{2} = x^{2n - 2} + 2x^{2n} + x^{2n + 2} \]
Étape 1 : Identifions \(A\) et \(B\).
\[ A = 3a^{n} \quad \text{et} \quad B = 2a^{n-2} \]
Étape 2 : Appliquons la formule du carré d’une différence.
\[ \left(3a^{n} - 2a^{n-2}\right)^{2} = (3a^{n})^{2} - 2 \cdot 3a^{n} \cdot 2a^{n-2} + (2a^{n-2})^{2} \]
Étape 3 : Calculons chaque terme.
\[ (3a^{n})^{2} = 9a^{2n} \] \[ -2 \cdot 3a^{n} \cdot 2a^{n-2} = -12a^{n + (n-2)} = -12a^{2n - 2} \] \[ (2a^{n-2})^{2} = 4a^{2(n-2)} = 4a^{2n - 4} \]
Étape 4 : Assemblez les termes développés.
\[ \left(3a^{n} - 2a^{n-2}\right)^{2} = 9a^{2n} - 12a^{2n - 2} + 4a^{2n - 4} \]