Exercice 54

Effectue et réduis

\((3z^2 - 4)^2 =\)
\((5z^2 + 2)^2 =\)
\((3z^2 \cdot 2)^2 =\)
\((3z^2 + 2)(3z^2 - 2) =\)
\((3z^2 + 2)(2 - 3z^2) =\)
\((3z^2 + 2)(2z^2 - 3) =\)
\((10w^2 - 3v)^2 =\)
\((6w - 3v)(3v - 6w) =\)
\((7w - 8v)(7w + 8v) =\)
\((4c \cdot 2d)^2 =\)
\((2c^2 - 3)(3 + 2c^2) =\)
\((5d + 6e)^2 =\)

Effectue et réduis

\(3b(b + c) =\)
\(12z - 2z =\)
\((3m - z)^2 =\)
\((4m - 3)(z + 2) =\)
\((4c - 3d) - (4c + 3d) =\)
\((m + z + 2)^2 =\)
\((5m^2 \cdot 3z)^2 =\)
\((5u - 3)(w + 4) =\)
\((3p - 4q)^2 =\)
\(y^2(y - z)(y + z) =\)
\((c + d + e)^2 =\)
\((4m - 6n)(6m + 4n) =\)
\((36m + 12n)(12n - 36m) =\)
\(1.5(3b + 2c)^2 =\)
\((b - 2 + c)^2 =\)
\((7m - 2)^2 - (m + 9)^2 =\)
\(20m - 4m \cdot (12 - 14m) =\)
\((5 - 4m)(10m + 8) + (20m - 3)(2 - m) =\)

Effectue et réduis

\(\left(\frac{2}{3}y + 6\right)^2 =\)
\(\left(\frac{4}{3}y \cdot \frac{2}{5}z\right)^2 =\)
\(\left(\frac{4}{9}y + \frac{4}{7}z\right)^2 =\)
\(\left(\frac{3}{10}y + \frac{2}{10}z\right)\left(\frac{3}{10}y - \frac{2}{10}z\right) =\)
\(\left(\frac{5}{8}y - \frac{2}{7}z\right) - \left(\frac{5}{8}y + \frac{2}{7}z\right) =\)
\(\left(\frac{3}{4}y + 6z\right)\left(\frac{3}{4}y + 6z\right) =\)
\(\left(\frac{3}{4}y + 4z\right)^2 =\)
\(\left(\frac{2}{5}y - 4\right) - \left(4y + \frac{2}{5}\right) =\)
\((2.\overline{3}y^2 - 1.\overline{3}z)^2 =\)
\(\left(\frac{2}{5}y - \frac{2}{4}\right)\left(\frac{2}{4} + \frac{2}{5}y\right) =\)

Réponse

Voici la réponse résumée :

Première série : a) 9z⁴ – 24z² + 16
b) 25z⁴ + 20z² + 4
c) 36z⁴
d) 9z⁴ – 4
e) –9z⁴ + 4
f) 6z⁴ – 5z² – 6
g) 100w⁴ – 60w²v + 9v²
h) –36w² + 36wv – 9v²
i) 49w² – 64v²
j) 64c²d²
k) 4c⁴ – 9
l) 25d² + 60de + 36e²

Deuxième série : a) 3b² + 3bc
b) 10z
c) 9m² – 6mz + z²
d) 4mz + 8m – 3z – 6
e) –6d
f) m² + z² + 4 + 2mz + 4m + 4z
g) 225m⁴z²
h) 5uw + 20u – 3w – 12
i) 9p² – 24pq + 16q²
j) y⁴ – y²z²
k) c² + d² + e² + 2cd + 2ce + 2de
l) 24m² – 20mn – 24n²
m) –1296m² + 144n²
n) 13,5b² + 18bc + 6c²
o) b² + 2bc + c² – 4b – 4c + 4
p) 48m² – 46m – 77
q) 56m² – 28m
r) –60m² + 61m + 34

Troisième série : a) (4/9)y² + 8y + 36
b) (64/225)y²z²
c) (16/81)y² + (32/63)yz + (16/49)z²
d) (9y² – 4z²)/100
e) –(4/7)z
f) (9/16)y² + 9yz + 36z²
g) (9/16)y² + 6yz + 16z²
h) –(18/5)y – (22/5)
i) (49/9)y⁴ – (56/9)y²z + (16/9)z²
j) (4/25)y² – 1/4

Corrigé détaillé

Nous allons effectuer et réduire chacune des expressions proposées en développant et en simplifiant pas à pas. Pour chaque item, nous expliquerons la démarche de manière détaillée.

────────────────────────────── Première série d’exercices

a) (3z² – 4)²
• Rappel : le carré d’un binôme (a – b)² se développe en a² – 2ab + b².
• Ici, a = 3z² et b = 4.
• Calculons :
– a² = (3z²)² = 9z⁴
– 2ab = 2 × (3z²) × 4 = 24z²
– b² = 4² = 16
• Ainsi, (3z² – 4)² = 9z⁴ – 24z² + 16.

────────────────────────────── b) (5z² + 2)²
• Pour un binôme (a + b)², on a a² + 2ab + b².
• Ici, a = 5z² et b = 2.
• Calculons :
– a² = (5z²)² = 25z⁴
– 2ab = 2 × (5z²) × 2 = 20z²
– b² = 2² = 4
• Donc, (5z² + 2)² = 25z⁴ + 20z² + 4.

────────────────────────────── c) (3z² · 2)²
• D’abord, on effectue le produit à l’intérieur des parenthèses : 3z² · 2 = 6z².
• Ensuite, on élève au carré : (6z²)² = 36z⁴.

────────────────────────────── d) (3z² + 2)(3z² – 2)
• Le produit de deux binômes de la forme (a + b)(a – b) se réduit à a² – b².
• Ici, a = 3z² et b = 2.
• Calcul : a² = (3z²)² = 9z⁴ et b² = 2² = 4.
• On obtient donc 9z⁴ – 4.

────────────────────────────── e) (3z² + 2)(2 – 3z²)
• Remarquons que 2 – 3z² = –(3z² – 2).
• Alors, (3z² + 2)(2 – 3z²) = –(3z² + 2)(3z² – 2).
• Or, d’après le point d), (3z² + 2)(3z² – 2) = 9z⁴ – 4.
• La réponse est donc –(9z⁴ – 4) = –9z⁴ + 4.

────────────────────────────── f) (3z² + 2)(2z² – 3)
• On effectue la multiplication terme à terme :
– Multiplication de 3z² par 2z² : 3z² × 2z² = 6z⁴
– Multiplication de 3z² par (–3) : 3z² × (–3) = –9z²
– Multiplication de 2 par 2z² : 2 × 2z² = 4z²
– Multiplication de 2 par (–3) : 2 × (–3) = –6
• En additionnant les termes semblables :
6z⁴ + (–9z² + 4z²) – 6 = 6z⁴ – 5z² – 6.

────────────────────────────── g) (10w² – 3v)²
• Pour un binôme (a – b)², on a a² – 2ab + b².
• Ici, a = 10w² et b = 3v.
• Calculons :
– a² = (10w²)² = 100w⁴
– 2ab = 2 × (10w²) × (3v) = 60w²·v
– b² = (3v)² = 9v²
• Ainsi, (10w² – 3v)² = 100w⁴ – 60w²v + 9v².

────────────────────────────── h) (6w – 3v)(3v – 6w)
• On remarque que 3v – 6w = –(6w – 3v).
• Dès lors, le produit devient –(6w – 3v)².
• Développons (6w – 3v)² :
– (6w)² = 36w²
– 2 × 6w × 3v = 36wv
– (3v)² = 9v²
• Ainsi, (6w – 3v)² = 36w² – 36wv + 9v²
• En changeant le signe, on obtient –36w² + 36wv – 9v².

────────────────────────────── i) (7w – 8v)(7w + 8v)
• Ce produit est une différence de carrés : a² – b², avec a = 7w et b = 8v.
• a² = (7w)² = 49w² et b² = (8v)² = 64v².
• La réduction donne 49w² – 64v².

────────────────────────────── j) (4c · 2d)²
• D’abord, calculons le produit dans la parenthèse : 4c × 2d = 8cd.
• Ensuite, on élève au carré : (8cd)² = 64c²d².

────────────────────────────── k) (2c² – 3)(3 + 2c²)
• On multiplie chaque terme du premier binôme par chaque terme du second :
– 2c² × 3 = 6c²
– 2c² × 2c² = 4c⁴
– (–3) × 3 = –9
– (–3) × 2c² = –6c²
• On regroupe : 4c⁴ + (6c² – 6c²) – 9 = 4c⁴ – 9.

────────────────────────────── l) (5d + 6e)²
• Pour le carré d’un binôme (a + b)², on a a² + 2ab + b², avec a = 5d et b = 6e.
– a² = (5d)² = 25d²
– 2ab = 2 × 5d × 6e = 60de
– b² = (6e)² = 36e²
• Ainsi, (5d + 6e)² = 25d² + 60de + 36e².

────────────────────────────── Deuxième série d’exercices

a) 3b(b + c)
• On multiplie 3b par chaque terme à l’intérieur de la parenthèse :
3b × b = 3b²
3b × c = 3bc
• Donc, 3b(b + c) = 3b² + 3bc.

────────────────────────────── b) 12z – 2z
• On soustrait les termes semblables : 12z – 2z = 10z.

────────────────────────────── c) (3m – z)²
• Rappel : (a – b)² = a² – 2ab + b², ici a = 3m et b = z.
– a² = (3m)² = 9m²
– 2ab = 2 × 3m × z = 6mz
– b² = z²
• Ainsi, (3m – z)² = 9m² – 6mz + z².

────────────────────────────── d) (4m – 3)(z + 2)
• On développe en multipliant chaque terme du premier facteur par chaque terme du second :
– 4m × z = 4mz
– 4m × 2 = 8m
– (–3) × z = –3z
– (–3) × 2 = –6
• La somme donne : 4mz + 8m – 3z – 6.

────────────────────────────── e) (4c – 3d) – (4c + 3d)
• On soustrait terme à terme :
4c – 3d – 4c – 3d = (4c – 4c) + (–3d – 3d) = –6d.

────────────────────────────── f) (m + z + 2)²
• Pour développer le carré d’un trinôme, on peut utiliser la formule :
(m + z + 2)² = m² + z² + 2² + 2·m·z + 2·m·2 + 2·z·2.
• Calculons chacun :
– m²
– z²
– 2² = 4
– 2m·z = 2mz
– 2·m·2 = 4m
– 2·z·2 = 4z
• Ainsi, (m + z + 2)² = m² + z² + 4 + 2mz + 4m + 4z.

────────────────────────────── g) (5m² · 3z)²
• D’abord, calculez le produit à l’intérieur : 5m² × 3z = 15m²z.
• Ensuite, élevez au carré : (15m²z)² = 15²·(m²)²·z² = 225m⁴z².

────────────────────────────── h) (5u – 3)(w + 4)
• Développons en multipliant :
– 5u × w = 5uw
– 5u × 4 = 20u
– (–3) × w = –3w
– (–3) × 4 = –12
• La somme donne : 5uw + 20u – 3w – 12.

────────────────────────────── i) (3p – 4q)²
• On applique (a – b)² = a² – 2ab + b², avec a = 3p et b = 4q.
– a² = (3p)² = 9p²
– 2ab = 2 × 3p × 4q = 24pq
– b² = (4q)² = 16q²
• La réduction donne : 9p² – 24pq + 16q².

────────────────────────────── j) y²(y – z)(y + z)
• On remarque que (y – z)(y + z) est une différence de carrés : y² – z².
• On a alors y² · (y² – z²) = y⁴ – y²z².

────────────────────────────── k) (c + d + e)²
• Pour le carré d’un trinôme, on a :
(c + d + e)² = c² + d² + e² + 2cd + 2ce + 2de.

────────────────────────────── l) (4m – 6n)(6m + 4n)
• Développons en multipliant :
– 4m × 6m = 24m²
– 4m × 4n = 16mn
– (–6n) × 6m = –36mn
– (–6n) × 4n = –24n²
• En groupant les termes semblables : 24m² + (16mn – 36mn) – 24n² = 24m² – 20mn – 24n².

────────────────────────────── m) (36m + 12n)(12n – 36m)
• On peut remarquer que ces deux facteurs sont opposés dans l’ordre de certains termes. Pour développer, procédons directement :
– 36m × 12n = 432mn
– 36m × (–36m) = –1296m²
– 12n × 12n = 144n²
– 12n × (–36m) = –432mn
• Les termes en 432mn s’annulent : 432mn – 432mn = 0.
• Le résultat est donc –1296m² + 144n².

────────────────────────────── n) 1,5(3b + 2c)²
• D’abord, développons (3b + 2c)² en appliquant (a + b)² = a² + 2ab + b² :
– (3b)² = 9b²
– 2 × 3b × 2c = 12bc
– (2c)² = 4c²
• On a ainsi (3b + 2c)² = 9b² + 12bc + 4c².
• Ensuite, multiplions par 1,5 (ce qui équivaut à multiplier chaque terme par 1,5) :
– 1,5 × 9b² = 13,5b²
– 1,5 × 12bc = 18bc
– 1,5 × 4c² = 6c²
• Donc, 1,5(3b + 2c)² = 13,5b² + 18bc + 6c².

────────────────────────────── o) (b – 2 + c)²
• Il est conseillé de regrouper les termes semblables à l’intérieur de la parenthèse. Comme l’ordre n’a pas d’importance, on écrit : b – 2 + c = b + c – 2.
• Ensuite, on développe le carré du trinôme :
(b + c – 2)² = (b + c)² – 2×2(b + c) + 2²
– (b + c)² = b² + 2bc + c²
– 2×2(b + c) = 4b + 4c
– 2² = 4
• Ainsi, (b + c – 2)² = b² + 2bc + c² – 4b – 4c + 4.

────────────────────────────── p) (7m – 2)² – (m + 9)²
• Développons chacun des carrés :
– (7m – 2)² = (7m)² – 2×7m×2 + 2² = 49m² – 28m + 4
– (m + 9)² = m² + 2×m×9 + 9² = m² + 18m + 81
• Ensuite, soustrayons :
49m² – 28m + 4 – (m² + 18m + 81) = (49m² – m²) + (–28m – 18m) + (4 – 81)
= 48m² – 46m – 77.

────────────────────────────── q) 20m – 4m · (12 – 14m)
• D’abord, calculons le produit 4m · (12 – 14m) :
4m × 12 = 48m
4m × (–14m) = –56m²
• L’expression devient : 20m – (48m – 56m²).
• En développant la soustraction : 20m – 48m + 56m² = 56m² – 28m.

────────────────────────────── r) (5 – 4m)(10m + 8) + (20m – 3)(2 – m)
• Développons d’abord (5 – 4m)(10m + 8) :
– 5 × 10m = 50m
– 5 × 8 = 40
– (–4m) × 10m = –40m²
– (–4m) × 8 = –32m
– En groupant, on a : –40m² + (50m – 32m) + 40 = –40m² + 18m + 40.
• Ensuite, développons (20m – 3)(2 – m) :
– 20m × 2 = 40m
– 20m × (–m) = –20m²
– (–3) × 2 = –6
– (–3) × (–m) = 3m
– En groupant : –20m² + (40m + 3m) – 6 = –20m² + 43m – 6.
• Enfin, additionnons les deux résultats :
– Pour m² : –40m² – 20m² = –60m²
– Pour m : 18m + 43m = 61m
– Pour la constante : 40 – 6 = 34
• Ainsi, le résultat est –60m² + 61m + 34.

────────────────────────────── Troisième série d’exercices (avec fractions et nombres décimaux)

Remarque : En français, la virgule est utilisée comme séparateur décimal.

a) ((2/3)y + 6)²
• Appliquons (a + b)² = a² + 2ab + b², avec a = (2/3)y et b = 6.
– a² = ((2/3)y)² = (4/9)y²
– 2ab = 2 × (2/3)y × 6 = (24/3)y = 8y
– b² = 6² = 36
• Ainsi, ((2/3)y + 6)² = (4/9)y² + 8y + 36.

────────────────────────────── b) ((4/3)y · (2/5)z)²
• D’abord, multiplions à l’intérieur : (4/3) × (2/5) = 8/15.
• Le produit devient (8/15 · y·z) et son carré est :
(8/15)² · y²z² = 64/225 · y²z².

────────────────────────────── c) ((4/9)y + (4/7)z)²
• Utilisons la formule du carré d’un binôme :
– Premier terme au carré : ((4/9)y)² = 16/81 · y²
– Double produit : 2 × (4/9)y × (4/7)z = (32/63)·yz
– Second terme au carré : ((4/7)z)² = 16/49 · z²
• Le résultat est : 16/81 y² + (32/63)yz + 16/49 z².

────────────────────────────── d) ((3/10)y + (2/10)z)((3/10)y – (2/10)z)
• Il s’agit d’une différence de carrés : a² – b², avec a = (3/10)y et b = (2/10)z.
– a² = (3/10 y)² = 9/100 y²
– b² = (2/10 z)² = 4/100 z²
• Ainsi, le produit est (9y² – 4z²)/100.

────────────────────────────── e) ((5/8)y – (2/7)z) – ((5/8)y + (2/7)z)
• On soustrait terme à terme :
– Le terme (5/8)y se soustrait et s’annule : (5/8)y – (5/8)y = 0
– Pour z : –(2/7)z – (2/7)z = –(4/7)z
• Ainsi, la réduction donne –(4/7)z.

────────────────────────────── f) ((3/4)y + 6z)((3/4)y + 6z)
• Il s’agit du carré d’un binôme : ((3/4)y + 6z)².
• Calculons :
– (3/4 y)² = 9/16 y²
– Double produit : 2 × (3/4)y × 6z = (36/4)yz = 9yz
– (6z)² = 36z²
• Le résultat est : 9/16 y² + 9yz + 36z².

────────────────────────────── g) ((3/4)y + 4z)²
• En appliquant la même formule :
– (3/4 y)² = 9/16 y²
– Double produit : 2 × (3/4)y × 4z = 2 × 3y×z = 6yz
– (4z)² = 16z²
• Ainsi, ((3/4)y + 4z)² = 9/16 y² + 6yz + 16z².

────────────────────────────── h) ((2/5)y – 4) – (4y + (2/5))
• Développons en éliminant les parenthèses :
– Le premier groupe est (2/5)y – 4
– Le second groupe est 4y + 2/5 (le 2/5 ne multiplie pas une variable ici)
• Soustraction terme à terme :
– Pour y : (2/5)y – 4y = (2/5 – 20/5)y = –18/5 y
– Pour les constantes : –4 – (2/5) = –(20/5 + 2/5) = –22/5
• Le résultat est –(18/5)y – 22/5.

────────────────────────────── i) (2,‾3 y² – 1,‾3 z)²
• Ici, la notation 2,‾3 signifie un nombre décimal périodique. En français,
2,‾3 = 2,333… = 7/3 et 1,‾3 = 1,333… = 4/3.
• Ainsi, l’expression se réécrit sous forme de fractions : ((7/3)y² – (4/3)z)².
• On peut écrire cette expression comme :
((7y²)/3 – (4z)/3)² = [1/3 · (7y² – 4z)]² = (1/9)(7y² – 4z)².
• Pour développer (7y² – 4z)² :
– (7y²)² = 49y⁴
– Double produit = 2×7y²×4z = 56y²z
– (4z)² = 16z²
• Donc, (7y² – 4z)² = 49y⁴ – 56y²z + 16z²
• En multipliant par 1/9, on obtient : (49/9)y⁴ – (56/9)y²z + (16/9)z².

────────────────────────────── j) ((2/5)y – (2/4))((2/4) + (2/5)y)
• Remarquons que 2/4 se simplifie en 1/2.
• L’expression devient donc ((2/5)y – 1/2)((1/2) + (2/5)y).
• On observe que ces deux facteurs sont de la forme (A – B) et (A + B) avec A = (2/5)y et B = 1/2.
• Leur produit est A² – B².
– A² = ((2/5)y)² = (4/25)y²
– B² = (1/2)² = 1/4
• Ainsi, le résultat est (4/25)y² – 1/4.

────────────────────────────── Conclusion

Nous avons développé et réduit chacune des expressions en appliquant les identités remarquables et les règles de distribution. Chaque étape consiste à :
1. Régrouper ou simplifier la forme initiale,
2. Appliquer la formule de développement (pour un carré ou une différence de carrés, par exemple),
3. Multiplier terme à terme et regrouper les termes semblables.

Ces démarches permettent d’obtenir les formes réduites présentées ci-dessus.