Exercice 52

Factoriser à l’aide des produits remarquables :

1. \(x^{2} + 4x - 21\)

2. \(\frac{1}{4}a^{2} + 16b^{2} + 4ab\)

3. \(x^{2} + 4\)

4. \(9a^{2} + 6ab + b^{2}\)

5. \(9x^{8} - 49y^{2}\)

6. \(\frac{1}{49}a^{6} - \frac{2}{7}a^{3}b + b^{2}\)

Réponse

Résumé des factorisations :

1. \(x^{2} + 4x - 21 = (x + 7)(x - 3)\)
2. \(\frac{1}{4}a^{2} + 16b^{2} + 4ab = \left(\frac{a}{2} + 4b\right)^{2}\)
3. \(x^{2} + 4\) ne se factorise pas dans les réels.
4. \(9a^{2} + 6ab + b^{2} = (3a + b)^{2}\)
5. \(9x^{8} - 49y^{2} = (3x^{4} - 7y)(3x^{4} + 7y)\)
6. \(\frac{1}{49}a^{6} - \frac{2}{7}a^{3}b + b^{2} = \left(\frac{1}{7}a^{3} - b\right)^{2}\)

Corrigé détaillé

Correction des exercices de factorisation à l’aide des produits remarquables

Exercice 1 : Factoriser \(x^{2} + 4x - 21\)

Solution :

Nous cherchons à factoriser le trinôme de la forme \(ax^{2} + bx + c\).

1. Identifier les coefficients :

   • \(a = 1\)
   • \(b = 4\)
   • \(c = -21\)

2. Trouver deux nombres dont le produit est \(a \times c = 1 \times (-21) = -21\) et dont la somme est \(b = 4\).

   • Les nombres sont \(7\) et \(-3\) car \(7 \times (-3) = -21\) et \(7 + (-3) = 4\).

3. Écrire le trinôme en utilisant ces nombres : \[ x^{2} + 7x - 3x - 21 \]

4. Factoriser par regroupement : \[ (x^{2} + 7x) + (-3x - 21) = x(x + 7) - 3(x + 7) \]

5. Factoriser le facteur commun \((x + 7)\) : \[ (x + 7)(x - 3) \]

Réponse : \[ x^{2} + 4x - 21 = (x + 7)(x - 3) \]

Exercice 2 : Factoriser \(\frac{1}{4}a^{2} + 16b^{2} + 4ab\)

Solution :

Réarrangeons les termes pour faciliter la factorisation : \[ \frac{1}{4}a^{2} + 4ab + 16b^{2} \]

1. Reconnaître une expression carrée : \[ \left(\frac{a}{2} + 4b\right)^{2} = \left(\frac{a}{2}\right)^{2} + 2 \times \frac{a}{2} \times 4b + (4b)^{2} = \frac{1}{4}a^{2} + 4ab + 16b^{2} \]

2. Donc, l’expression initiale est un carré parfait : \[ \frac{1}{4}a^{2} + 4ab + 16b^{2} = \left(\frac{a}{2} + 4b\right)^{2} \]

Réponse : \[ \frac{1}{4}a^{2} + 16b^{2} + 4ab = \left(\frac{a}{2} + 4b\right)^{2} \]

Exercice 3 : Factoriser \(x^{2} + 4\)

Solution :

L’expression \(x^{2} + 4\) est une somme de deux carrés. Les sommes de carrés ne se factorisent pas dans les réels, mais on peut utiliser les nombres complexes.

Cependant, si nous restons dans les réels, l’expression ne se factorise pas davantage.

Réponse : \[ x^{2} + 4 \text{ ne se factorise pas dans les nombres réels.} \]

Exercice 4 : Factoriser \(9a^{2} + 6ab + b^{2}\)

Solution :

Nous reconnaissons ce trinôme comme un carré parfait.

1. Identifier les termes : \[ 9a^{2} = (3a)^{2}, \quad b^{2} = b^{2}, \quad 6ab = 2 \times 3a \times b \]

2. Utiliser la formule du carré d’une somme : \[ (3a + b)^{2} = 9a^{2} + 6ab + b^{2} \]

Réponse : \[ 9a^{2} + 6ab + b^{2} = (3a + b)^{2} \]

Exercice 5 : Factoriser \(9x^{8} - 49y^{2}\)

Solution :

Nous avons une différence de deux carrés.

1. Reconnaître les carrés : \[ 9x^{8} = (3x^{4})^{2}, \quad 49y^{2} = (7y)^{2} \]

2. Appliquer la formule de la différence de carrés : \[ A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B) \] où \(A = 3x^{4}\) et \(B = 7y\).

3. Factoriser : \[ 9x^{8} - 49y^{2} = (3x^{4} - 7y)(3x^{4} + 7y) \]

Réponse : \[ 9x^{8} - 49y^{2} = (3x^{4} - 7y)(3x^{4} + 7y) \]

Exercice 6 : Factoriser \(\frac{1}{49}a^{6} - \frac{2}{7}a^{3}b + b^{2}\)

Solution :

Nous observons que l’expression est un trinôme du second degré en \(a^{3}\) et \(b\).

1. Posons \(x = \frac{1}{7}a^{3}\) et \(y = b\).

   L’expression devient : \[ x^{2} - 2xy + y^{2} \]

2. Reconnaître que c’est un carré parfait : \[ x^{2} - 2xy + y^{2} = (x - y)^{2} \]

3. Remplacer \(x\) et \(y\) par leurs expressions initiales : \[ \left(\frac{1}{7}a^{3} - b\right)^{2} \]

Réponse : \[ \frac{1}{49}a^{6} - \frac{2}{7}a^{3}b + b^{2} = \left(\frac{1}{7}a^{3} - b\right)^{2} \]