Calculer à l’aide des produits remarquables :
\((2x + y - z)(2x + y + z)\) \[ 4x^2 + 4xy + y^2 - z^2 \]
\((3a - b + c)(3a + b - c)\) \[ 9a^2 - b^2 + 2bc - c^2 \]
\((2x - y + 3)^2\) \[ 4x^2 + y^2 + 9 - 4xy + 12x - 6y \]
\((5a - b + c)(-5a - b + c)\) \[ -25a^2 + b^2 - 2bc + c^2 \]
\((3v - 2w + z)^2\) \[ 9v^2 + 4w^2 + z^2 - 12vw + 6vz - 4wz \]
\(\left(2a^{3} - 4b^{3} + c^{3}\right)^{2}\) \[ 4a^6 + 16b^6 + c^6 - 16a^3b^3 + 4a^3c^3 - 8b^3c^3 \]
Ces développements utilisent les produits remarquables appropriés pour simplifier et étendre les expressions algébriques.
Bien sûr, détaillons chaque exercice étape par étape en utilisant les produits remarquables appropriés.
(2x + y - z)·(2x + y + z)Étape 1 : Identifier la forme du produit
Nous avons un produit de la forme \((a + b)(a - b)\), qui est un cas particulier de produits remarquables appelé produit de la somme et de la différence. La formule est :
\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Étape 2 : Appliquer la formule
Appliquons cette formule à notre expression en identifiant \(a\) et \(b\) :
Ainsi,
\[ (2x + y - z)(2x + y + z) = (2x + y)^2 - z^2 \]
Étape 3 : Développer \((2x + y)^2\)
Utilisons le développement du carré d’une somme :
\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]
Appliquons cela à \(a = 2x\) et \(b = y\) :
\[ (2x + y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot y + y^2 = 4x^2 + 4xy + y^2 \]
Étape 4 : Substituer dans l’expression principale
Remplaçons \((2x + y)^2\) par son développement :
\[ (2x + y - z)(2x + y + z) = 4x^2 + 4xy + y^2 - z^2 \]
Résultat final :
\[ (2x + y - z)(2x + y + z) = 4x^2 + 4xy + y^2 - z^2 \]
(3a - b + c)·(3a + b - c)Étape 1 : Identifier la forme du produit
Nous avons un produit de la forme \((a + b)(a - b)\). En réarrangeant, on peut écrire :
\[ (3a - b + c)(3a + b - c) = (3a + ( -b + c))(3a + (b - c)) \]
Étape 2 : Simplifier l’expression
Reconnaissons que c’est le produit de la somme et de la différence avec \(a = 3a\) et \(b = b - c\) :
\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Ici,
\[ a = 3a,\quad b = b - c \]
Étape 3 : Appliquer la formule
\[ (3a - b + c)(3a + b - c) = (3a)^2 - (b - c)^2 = 9a^2 - (b - c)^2 \]
Étape 4 : Développer \((b - c)^2\)
\[ (b - c)^2 = b^2 - 2bc + c^2 \]
Étape 5 : Substituer dans l’expression principale
\[ 9a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = 9a^2 - b^2 + 2bc - c^2 \]
Résultat final :
\[ (3a - b + c)(3a + b - c) = 9a^2 - b^2 + 2bc - c^2 \]
(2x - y + 3)^{2}Étape 1 : Identifier la forme du carré d’une somme
Nous avons \((a + b + c)^2\). Le développement est :
\[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \]
Étape 2 : Appliquer la formule
Avec \(a = 2x\), \(b = -y\), et \(c = 3\), nous obtenons :
\[ (2x - y + 3)^2 = (2x)^2 + (-y)^2 + 3^2 + 2 \cdot 2x \cdot (-y) + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 2 \cdot (-y) \cdot 3 \]
Étape 3 : Calculer chaque terme
\[ (2x)^2 = 4x^2 \] \[ (-y)^2 = y^2 \] \[ 3^2 = 9 \] \[ 2 \cdot 2x \cdot (-y) = -4xy \] \[ 2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x \] \[ 2 \cdot (-y) \cdot 3 = -6y \]
Étape 4 : Assembler tous les termes
\[ 4x^2 + y^2 + 9 - 4xy + 12x - 6y \]
Résultat final :
\[ (2x - y + 3)^2 = 4x^2 + y^2 + 9 - 4xy + 12x - 6y \]
(5a - b + c)·(-5a - b + c)Étape 1 : Identifier la forme du produit
Le produit est de la forme \((a + b)(-a + b)\), équivalente à \(-(a)^2 + b^2\).
Étape 2 : Réécrire l’expression
\[ (5a - b + c)(-5a - b + c) = (5a + (-b + c))(-5a + (-b + c)) \]
Étape 3 : Appliquer la formule du produit de la somme et de la différence
\[ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \]
Ici,
\[ a = 5a,\quad b = b - c \]
Donc,
\[ (5a - b + c)(-5a - b + c) = -(5a)^2 + ( -b + c )^2 \]
Étape 4 : Calculer chaque terme
\[ -(5a)^2 = -25a^2 \] \[ (-b + c)^2 = b^2 - 2bc + c^2 \]
Étape 5 : Assembler les termes
\[ -25a^2 + b^2 - 2bc + c^2 \]
Résultat final :
\[ (5a - b + c)(-5a - b + c) = -25a^2 + b^2 - 2bc + c^2 \]
(3v - 2w + z)^{2}Étape 1 : Identifier la forme du carré d’une somme
Nous avons \((a + b + c)^2\). Le développement est :
\[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \]
Étape 2 : Appliquer la formule
Avec \(a = 3v\), \(b = -2w\), et \(c = z\), nous obtenons :
\[ (3v - 2w + z)^2 = (3v)^2 + (-2w)^2 + z^2 + 2 \cdot 3v \cdot (-2w) + 2 \cdot 3v \cdot z + 2 \cdot (-2w) \cdot z \]
Étape 3 : Calculer chaque terme
\[ (3v)^2 = 9v^2 \] \[ (-2w)^2 = 4w^2 \] \[ z^2 = z^2 \] \[ 2 \cdot 3v \cdot (-2w) = -12vw \] \[ 2 \cdot 3v \cdot z = 6vz \] \[ 2 \cdot (-2w) \cdot z = -4wz \]
Étape 4 : Assembler tous les termes
\[ 9v^2 + 4w^2 + z^2 - 12vw + 6vz - 4wz \]
Résultat final :
\[ (3v - 2w + z)^2 = 9v^2 + 4w^2 + z^2 - 12vw + 6vz - 4wz \]
Étape 1 : Identifier la forme du carré d’une somme
Nous avons \((a + b + c)^2\). Le développement est :
\[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \]
Étape 2 : Appliquer la formule
Avec \(a = 2a^3\), \(b = -4b^3\), et \(c = c^3\), nous obtenons :
\[ (2a^3 - 4b^3 + c^3)^2 = (2a^3)^2 + (-4b^3)^2 + (c^3)^2 + 2 \cdot 2a^3 \cdot (-4b^3) + 2 \cdot 2a^3 \cdot c^3 + 2 \cdot (-4b^3) \cdot c^3 \]
Étape 3 : Calculer chaque terme
\[ (2a^3)^2 = 4a^6 \] \[ (-4b^3)^2 = 16b^6 \] \[ (c^3)^2 = c^6 \] \[ 2 \cdot 2a^3 \cdot (-4b^3) = -16a^3b^3 \] \[ 2 \cdot 2a^3 \cdot c^3 = 4a^3c^3 \] \[ 2 \cdot (-4b^3) \cdot c^3 = -8b^3c^3 \]
Étape 4 : Assembler tous les termes
\[ 4a^6 + 16b^6 + c^6 - 16a^3b^3 + 4a^3c^3 - 8b^3c^3 \]
Résultat final :
\[ \left(2a^{3} - 4b^{3} + c^{3}\right)^{2} = 4a^6 + 16b^6 + c^6 - 16a^3b^3 + 4a^3c^3 - 8b^3c^3 \]
Ces développements utilisent les propriétés des produits remarquables pour simplifier et étendre les expressions algébriques de manière méthodique. Assurez-vous de bien identifier la forme adéquate du produit remarquable avant de procéder au développement.