Calculer à l’aide des produits remarquables :
\((a + b + c + d)^{2}\)
\((3x + y + z)(3x - y - z)\)
\((3a + b - c)(3a + b + c)\)
\((2a - x - y)(2a + x + y)\)
\((3b + a - 4)^{2}\)
\((4x^{2} - y^{2} - z^{2})(z^{2} + y^{2} + 4x^{2})\)
Exercices de Développement
Les exercices montrent comment développer des carrés de polynômes et utiliser les binômes conjugués. On applique les formules \((A+B)^2\) et \((A-B)(A+B) = A^2 - B^2\), en développant et simplifiant chaque expression pour obtenir les résultats finaux.
Pour calculer le carré d’une somme de quatre termes, nous allons développer l’expression en utilisant les propriétés des produits remarquables.
Étapes :
Comprendre l’expression :
\[ (a + b + c + d)^2 = (a + b + c + d) \times (a + b + c + d) \]
Développer l’expression :
Nous allons multiplier chaque terme du premier groupe par chaque terme du second groupe.
\[ = a \times a + a \times b + a \times c + a \times d + b \times a + b \times b + b \times c + b \times d + c \times a + c \times b + c \times c + c \times d + d \times a + d \times b + d \times c + d \times d \]
Simplifier les termes :
\[ = a^2 + ab + ac + ad + ab + b^2 + bc + bd + ac + bc + c^2 + cd + ad + bd + cd + d^2 \]
Regrouper les termes similaires :
\[ = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd \]
Résultat final :
\[ (a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd \]
Nous allons utiliser le produit de deux binômes conjugués de la forme \((A + B)(A - B) = A^2 - B^2\).
Étapes :
Identifier \(A\) et \(B\) :
\[ A = 3x \quad \text{et} \quad B = y + z \]
Appliquer la formule :
\[ (A + B)(A - B) = A^2 - B^2 \]
Calculer \(A^2\) :
\[ (3x)^2 = 9x^2 \]
Calculer \(B^2\) :
\[ (y + z)^2 = y^2 + 2yz + z^2 \]
Appliquer la formule :
\[ (3x + y + z)(3x - y - z) = 9x^2 - (y^2 + 2yz + z^2) \]
Simplifier l’expression :
\[ = 9x^2 - y^2 - 2yz - z^2 \]
Résultat final :
\[ (3x + y + z)(3x - y - z) = 9x^2 - y^2 - 2yz - z^2 \]
Nous utilisons le produit de deux binômes conjugués \((A - B)(A + B) = A^2 - B^2\).
Étapes :
Identifier \(A\) et \(B\) :
\[ A = 3a + b \quad \text{et} \quad B = c \]
Appliquer la formule :
\[ (A - B)(A + B) = A^2 - B^2 \]
Calculer \(A^2\) :
\[ (3a + b)^2 = (3a)^2 + 2 \times 3a \times b + b^2 = 9a^2 + 6ab + b^2 \]
Calculer \(B^2\) :
\[ c^2 \]
Appliquer la formule :
\[ (3a + b - c)(3a + b + c) = (9a^2 + 6ab + b^2) - c^2 \]
Résultat final :
\[ (3a + b - c)(3a + b + c) = 9a^2 + 6ab + b^2 - c^2 \]
Nous appliquons la formule du produit de deux binômes conjugués \((A - B)(A + B) = A^2 - B^2\).
Étapes :
Identifier \(A\) et \(B\) :
\[ A = 2a \quad \text{et} \quad B = x + y \]
Appliquer la formule :
\[ (A - B)(A + B) = A^2 - B^2 \]
Calculer \(A^2\) :
\[ (2a)^2 = 4a^2 \]
Calculer \(B^2\) :
\[ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \]
Appliquer la formule :
\[ (2a - x - y)(2a + x + y) = 4a^2 - (x^2 + 2xy + y^2) \]
Simplifier l’expression :
\[ = 4a^2 - x^2 - 2xy - y^2 \]
Résultat final :
\[ (2a - x - y)(2a + x + y) = 4a^2 - x^2 - 2xy - y^2 \]
Nous allons développer le carré d’un trinôme en utilisant la formule \((A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC\).
Étapes :
Identifier \(A\), \(B\), et \(C\) :
\[ A = 3b, \quad B = a, \quad C = -4 \]
Appliquer la formule :
\[ (A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC \]
Calculer les carrés :
\[ A^2 = (3b)^2 = 9b^2 \] \[ B^2 = a^2 \] \[ C^2 = (-4)^2 = 16 \]
Calculer les produits doubles :
\[ 2AB = 2 \times 3b \times a = 6ab \] \[ 2AC = 2 \times 3b \times (-4) = -24b \] \[ 2BC = 2 \times a \times (-4) = -8a \]
Assembler tous les termes :
\[ (3b + a - 4)^2 = 9b^2 + a^2 + 16 + 6ab - 24b - 8a \]
Résultat final :
\[ (3b + a - 4)^2 = 9b^2 + a^2 + 16 + 6ab - 24b - 8a \]
Nous remarquons que les deux expressions sont des binômes conjugués de la forme \((A - B)(A + B) = A^2 - B^2\), où \(A = 4x^2\) et \(B = y^2 + z^2\).
Étapes :
Identifier \(A\) et \(B\) :
\[ A = 4x^2 \quad \text{et} \quad B = y^2 + z^2 \]
Appliquer la formule :
\[ (A - B)(A + B) = A^2 - B^2 \]
Calculer \(A^2\) :
\[ (4x^2)^2 = 16x^4 \]
Calculer \(B^2\) :
\[ (y^2 + z^2)^2 = y^4 + 2y^2z^2 + z^4 \]
Appliquer la formule :
\[ (4x^{2} - y^{2} - z^{2})(z^{2} + y^{2} + 4x^{2}) = 16x^4 - (y^4 + 2y^2z^2 + z^4) \]
Simplifier l’expression :
\[ = 16x^4 - y^4 - 2y^2z^2 - z^4 \]
Résultat final :
\[ (4x^{2} - y^{2} - z^{2})(z^{2} + y^{2} + 4x^{2}) = 16x^4 - y^4 - 2y^2z^2 - z^4 \]