Question : Il manque chaque fois un seul monôme pour que les polynômes ci-dessous soient des produits remarquables. Retrouve le monôme manquant et son signe, puis donne la forme factorisée de ce polynôme.
\(64 x^{2} + 48 x y\)
\(121 a^{2} - 22 a b\)
\(25 m^{2} +\)
\(100 z^{2} - 60 z t\)
\(36 p^{2} +\)
a)
- Monôme manquant : \(+9y^{2}\)
- Forme factorisée : \((8x +
3y)^{2}\)
b)
- Monôme manquant : \(+b^{2}\)
- Forme factorisée : \((11a -
b)^{2}\)
c)
- Réponse : Informations insuffisantes pour compléter
le polynôme.
d)
- Monôme manquant : \(+9t^{2}\)
- Forme factorisée : \((10z -
3t)^{2}\)
e)
- Réponse : Informations insuffisantes pour compléter
le polynôme.
Étape 1 : Identifier les termes connus - \(64 x^{2}\) - \(48 x y\)
Étape 2 : Déterminer le monôme manquant Nous recherchons un parfait carré ou un produit remarquable tel que : \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] Comparons avec le polynôme donné : \[ 64x^2 + 48xy + \underline{\quad} \] Ici, \(a^2 = 64x^2\) donc \(a = 8x\) et \(2ab = 48xy\). Calculons \(b\) : \[ 2 \times 8x \times b = 48xy \implies 16x \times b = 48xy \implies b = 3y \] Le monôme manquant est donc \(b^2 = (3y)^2 = 9y^2\).
Étape 3 : Déterminer le signe du monôme manquant Puisque dans le polynôme donné le terme \(48xy\) est positif, le signe du monôme manquant \(9y^2\) est également positif.
Étape 4 : Forme factorisée Maintenant, le polynôme complet est : \[ 64x^2 + 48xy + 9y^2 = (8x + 3y)^2 \]
Réponse finale : - Monôme manquant : \(+9y^2\) - Forme factorisée : \((8x + 3y)^2\)
Étape 1 : Identifier les termes connus - \(121 a^{2}\) - \(-22 a b\)
Étape 2 : Déterminer le monôme manquant Nous cherchons à compléter un produit remarquable du type : \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] Comparons avec le polynôme donné : \[ 121a^2 - 22ab + \underline{\quad} \] Ici, \(a^2 = 121a^2\) donc \(a = 11a\) et \(-2ab = -22ab\). Calculons \(b\) : \[ -2 \times 11a \times b = -22ab \implies -22a \times b = -22ab \implies b = b \] Le monôme manquant est donc \(b^2\). Comme \(b = b\), nous avons : \[ b^2 = b^2 \]
Étape 3 : Déterminer le signe du monôme manquant Le terme \(-22ab\) est négatif, donc le monôme manquant \(b^2\) est positif.
Étape 4 : Forme factorisée Le polynôme complet est : \[ 121a^2 - 22ab + b^2 = (11a - b)^2 \]
Réponse finale : - Monôme manquant : \(+b^2\) - Forme factorisée : \((11a - b)^2\)
Étape 1 : Identifier le terme connu - \(25 m^{2}\)
Étape 2 : Déterminer le monôme manquant Supposons que le polynôme est un carré parfait : \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] Ici, \(a^2 = 25m^2\) donc \(a = 5m\). Le terme intermédiaire \(2ab\) est manquant. Sans terme linéaire donné, on suppose que le polynôme doit être complété pour être un carré parfait. Par conséquent, le monôme manquant est \(b^2\).
Étape 3 : Déterminer le monôme manquant Puisque seul \(25m^2\) est donné, nous pouvons choisir \(b\) tel que \(b^2\) soit positif. Pour simplifier, choisissons \(b = 0\), mais cela ne forme pas un produit remarquable intéressant. Il est probable que le terme manquant soit \(0\), mais cela ne correspond pas à un produit remarquable. Une autre interprétation est de considérer que le terme linéaire est manquant.
Si nous ajoutons un terme linéaire \(2ab\), alors : \[ 25m^2 + 2ab + b^2 = (5m + b)^2 \] Sans information supplémentaire, il est impossible de déterminer \(b\).
Remarque : L’exercice semble incomplet. Pour qu’un produit remarquable soit formé, il faut au moins deux termes connus.
Réponse finale : Il manque le terme \(+\) (non déterminé) pour compléter le polynôme en un produit remarquable. Plus d’informations sont nécessaires pour déterminer le monôme manquant.
Étape 1 : Identifier les termes connus - \(100 z^{2}\) - \(-60 z t\)
Étape 2 : Déterminer le monôme manquant Nous cherchons à compléter un carré parfait : \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] Comparons avec le polynôme donné : \[ 100z^2 - 60z t + \underline{\quad} \] Ici, \(a^2 = 100z^2\) donc \(a = 10z\) et \(-2ab = -60zt\). Calculons \(b\) : \[ -2 \times 10z \times b = -60z t \implies -20z \times b = -60z t \implies b = 3t \] Le monôme manquant est donc \(b^2 = (3t)^2 = 9t^2\).
Étape 3 : Déterminer le signe du monôme manquant Le terme \(-60zt\) est négatif, donc le monôme manquant \(9t^2\) est positif.
Étape 4 : Forme factorisée Le polynôme complet est : \[ 100z^2 - 60zt + 9t^2 = (10z - 3t)^2 \]
Réponse finale : - Monôme manquant : \(+9t^2\) - Forme factorisée : \((10z - 3t)^2\)
Étape 1 : Identifier le terme connu - \(36 p^{2}\)
Étape 2 : Déterminer le monôme manquant Similaire à l’exercice c), nous cherchons à compléter un carré parfait : \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] Ici, \(a^2 = 36p^2\) donc \(a = 6p\). Le terme intermédiaire \(2ab\) est manquant. Sans terme linéaire donné, on suppose que le polynôme doit être complété pour former un carré parfait. Par conséquent, le monôme manquant est \(b^2\).
Étape 3 : Déterminer le monôme manquant Choisissons \(b = 0\) pour simplifier, mais cela ne forme pas un produit remarquable intéressant. Il est probable que le terme manquant soit \(0\), mais cela ne correspond pas à un produit remarquable. Une autre interprétation est de considérer que le terme linéaire est manquant.
Si nous ajoutons un terme linéaire \(2ab\), alors : \[ 36p^2 + 2ab + b^2 = (6p + b)^2 \] Sans information supplémentaire, il est impossible de déterminer \(b\).
Remarque : L’exercice semble incomplet. Pour qu’un produit remarquable soit formé, il faut au moins deux termes connus.
Réponse finale : Il manque le terme \(+\) (non déterminé) pour compléter le polynôme en un produit remarquable. Plus d’informations sont nécessaires pour déterminer le monôme manquant.