Question : Complète ces égalités le plus simplement possible.
\[(x + \quad)^2 = \quad + \quad + 16\]
\[(\quad - 3)^2 = 9y^{2} - \quad + \quad\]
\[(x + \quad)^2 = \quad + 12x + \quad\]
\[(\quad + \quad)^2 = \quad + 64x + 36\]
\[(\quad - 2)^2 = \quad + 8x + \quad\]
\[(\quad + \quad)^2 = y^{2} - \quad + 1,21\]
\[\left(\quad - \frac{2}{5}\right)^2 = \quad + 4x + \quad\]
\[\left(\frac{x}{3} + \quad\right)^2 = \quad - 2x + \quad\]
Réponses :
a) (x + 4)² = x² + 8x + 16
b) (3y – 3)² = 9y² – 18y + 9
c) (x + 6)² = x² + 12x + 36
d) ((16/3)x + 6)² = (256/9)x² + 64x + 36
e) (–2x – 2)² = 4x² + 8x + 4
f) (y – 1,1)² = y² – 2,2y + 1,21
g) (–5x – 2/5)² = 25x² + 4x + 4/25
h) (x/3 – 3)² = x²/9 – 2x + 9
Nous allons compléter chaque égalité en nous rappelant que le carré d’un binôme se développe selon la formule générale suivante :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Pour chaque exercice, nous identifierons le terme constant (b²) et le coefficient du terme linéaire (2ab ou, s’il y a un x avec coefficient non nul, 2a) afin de trouver le nombre manquant.
────────────────────────────── a) (x + )² = + __ + 16
La forme générale est :
(x + a)² = x² + 2a·x + a²
Ici, le terme constant donné est 16, donc : a² = 16 → a = 4 (on choisit la valeur positive pour simplifier).
Alors, 2a = 2×4 = 8.
La complétion donne :
(x + 4)² = x² + 8x + 16
────────────────────────────── b) ( __ – 3)² = 9y² – __ + __
Ici, le binôme se présente sous la forme (a·y – 3)². Son développement est :
(a·y – 3)² = (a·y)² – 2·3·(a·y) + 3² = a²y² – 6a·y + 9
On voit que le premier terme est 9y². Cela implique : a² = 9 → a = 3 (car 3² = 9).
Ensuite, le coefficient de y est –6a = –6×3 = –18.
La complétion donne :
(3y – 3)² = 9y² – 18y + 9
────────────────────────────── c) (x + )² = + 12x + __
On utilise la forme (x + a)² = x² + 2a·x + a².
Le coefficient de x est 12, donc : 2a = 12 → a = 6
Et le terme constant devient : a² = 6² = 36
La complétion donne :
(x + 6)² = x² + 12x + 36
────────────────────────────── d) ( __ + __ )² = __ + 64x + 36
Ici, nous cherchons à écrire un carré de binôme sous la forme (a·x + b)² = a²x² + 2ab·x + b².
Le terme constant est 36, donc : b² = 36 → b = 6 (on prend la valeur positive).
Le coefficient linéaire est 64, et comme 2ab doit être égal à 64, on a : 2a·6 = 64 → 12a = 64 → a = 64/12 = 16/3
Le carré de a est : a² = (16/3)² = 256/9
La complétion donne :
((16/3)x + 6)² = (256/9)x² + 64x + 36
────────────────────────────── e) ( __ – 2)² = __ + 8x + __
Ici, écrivons le binôme sous la forme (a·x – 2)² = a²x² – 2·2a·x + 2², c’est-à-dire :
(a·x – 2)² = a²x² – 4a·x + 4
On souhaite que le coefficient du terme en x soit +8x. Ainsi, on doit avoir : –4a = 8 → a = –2
Vérifions le terme en x² : a² = (–2)² = 4
Le terme constant est 4.
La complétion donne :
(–2x – 2)² = 4x² + 8x + 4
(Remarque : écrire –2x – 2 équivaut à factoriser –2 et obtenir –2(x + 1); le résultat développé reste le même.)
────────────────────────────── f) ( __ + __ )² = y² – __ + 1,21
Ici, il est évident que la variable est y. La formule du carré d’un binôme est :
(y + a)² = y² + 2a·y + a²
L’égalité développée présente un terme en y négatif, donc il faut envisager a négatif. De plus, le terme constant est 1,21. On a : a² = 1,21 → a = 1,1 mais pour avoir le signe négatif devant y, on choisit a = –1,1.
Ensuite, le coefficient du terme en y est : 2a = 2×(–1,1) = –2,2
La complétion donne :
(y – 1,1)² = y² – 2,2y + 1,21
────────────────────────────── g) ( __ – 2/5)² = __ + 4x + __
Nous cherchons un binôme de la forme (a·x + b)² dont la constante b correspond ici à –2/5. Ainsi, b = –2/5 et b² = (2/5)² = 4/25.
Le développement nous donne :
(a·x – 2/5)² = a²x² + 2a·(–2/5)x + 4/25 = a²x² – (4a/5)x + 4/25
On veut que le terme en x soit 4x, donc : –(4a/5) = 4 → 4a/5 = –4 → a = –4×5/4 = –5
Ensuite, le coefficient de x² est : a² = (–5)² = 25
La complétion donne :
(–5x – 2/5)² = 25x² + 4x + 4/25
────────────────────────────── h) ( (x/3) + __ )² = __ – 2x + __
Ici, on écrit le binôme sous la forme (x/3 + a)². Son développement est :
(x/3 + a)² = (x/3)² + 2a·(x/3) + a² = x²/9 + (2a/3)x + a²
On note que dans l’égalité donnée, le terme en x est –2x. Ainsi, on a : 2a/3 = –2 → 2a = –6 → a = –3
Puis, a² = (–3)² = 9
La complétion donne :
(x/3 – 3)² = x²/9 – 2x + 9
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
Chaque égalité a ainsi été complétée en appliquant la formule du carré du binôme et en trouvant le nombre manquant par identification des coefficients.