Question : Il manque chaque fois un seul monôme pour que les polynômes ci-dessous soient des produits remarquables. Retrouve le monôme manquant et son signe, puis donne la forme factorisée de ce polynôme.
\(64 x^{6} - 48 x^{4} y\)
\(121 m^{2} + 22 m n\)
\(36 p^{2} - 30 q^{2}\)
\(49 x^{2} + 28 x y\)
\(16 x^{2} +\)
Réponses résumées :
Monôme manquant : \(9x^{2}y^{2}\)
Forme factorisée : \((8x^{3} -
3xy)^2\)
Monôme manquant : \(n^{2}\)
Forme factorisée : \((11m +
n)^2\)
Impossible de factoriser en carré parfait avec les termes donnés.
Monôme manquant : \(4y^{2}\)
Forme factorisée : \((7x +
2y)^2\)
Informations insuffisantes pour compléter le carré parfait.
Question :
Il manque chaque fois un seul monôme pour que les polynômes ci-dessous
soient des produits remarquables. Retrouve le monôme manquant et son
signe, puis donne la forme factorisée de ce polynôme.
Étape 1 : Identifier le carré du premier terme
Le premier terme \(64x^6\) peut être écrit comme le carré de \(8x^3\) : \[ 64x^6 = (8x^3)^2 \]
Étape 2 : Identifier le terme manquant
Pour qu’il s’agisse d’un produit remarquable du type \((a - b)^2\), le deuxième terme doit correspondre à \(-2ab\). Ici, \(a = 8x^3\) et \(b\) est le monôme manquant.
On a : \[ -2ab = -48x^4y \Rightarrow -2 \times 8x^3 \times b = -48x^4y \] \[ -16x^3 \times b = -48x^4y \Rightarrow b = \frac{-48x^4y}{-16x^3} = 3x y \]
Étape 3 : Déterminer le monôme manquant
Le monôme manquant est \(9x^2y^2\) car : \[ b^2 = (3x y)^2 = 9x^2y^2 \]
Étape 4 : Écrire le polynôme complet et le factoriser
Le polynôme complet est : \[ 64x^6 - 48x^4y + 9x^2y^2 \] Ce qui se factorise en : \[ (8x^3 - 3xy)^2 \]
Étape 1 : Identifier le carré du premier terme
Le premier terme \(121m^2\) peut être écrit comme le carré de \(11m\) : \[ 121m^2 = (11m)^2 \]
Étape 2 : Identifier le terme manquant
Pour un produit remarquable de la forme \((a + b)^2\), le deuxième terme doit être \(2ab\). Ici, \(a = 11m\).
On a : \[ 2ab = 22mn \Rightarrow 2 \times 11m \times b = 22mn \] \[ 22m \times b = 22mn \Rightarrow b = n \]
Étape 3 : Déterminer le monôme manquant
Le monôme manquant est \(n^2\) car : \[ b^2 = n^2 \]
Étape 4 : Écrire le polynôme complet et le factoriser
Le polynôme complet est : \[ 121m^{2} + 22mn + n^2 \] Ce qui se factorise en : \[ (11m + n)^2 \]
Étape 1 : Identifier le carré du premier terme
Le premier terme \(36p^2\) peut être écrit comme le carré de \(6p\) : \[ 36p^2 = (6p)^2 \]
Étape 2 : Identifier le terme manquant
Pour un produit remarquable de la forme \((a - b)^2\), le deuxième terme doit être \(-2ab\). Ici, \(a = 6p\).
On a : \[ -2ab = -30q^2 \Rightarrow -2 \times 6p \times b = -30q^2 \] \[ -12p \times b = -30q^2 \Rightarrow b = \frac{-30q^2}{-12p} = \frac{5}{2} \cdot \frac{q^2}{p} \] Cependant, pour que \(b\) soit un monôme, il faut que \(b = \frac{5q}{2p}\). On notera que ce n’est pas un monôme entier, ce qui suggère une erreur dans le problème ou une autre interprétation.
Étape 3 : Analyse
Il semble qu’il manque une information ou qu’il y ait une erreur dans l’énoncé. Assumons que le terme soit \(-30pq\) au lieu de \(-30q^2\).
Étape 4 : Déterminer le monôme manquant corrigé
Si le terme est \(-30pq\), alors : \[ -2ab = -30pq \Rightarrow b = \frac{30pq}{12p} = \frac{5q}{2} \] Le monôme manquant serait alors \(\left(\frac{5q}{2}\right)^2 = \frac{25q^2}{4}\).
Étape 5 : Écrire le polynôme complet et le factoriser (avec correction)
Le polynôme complet corrigé serait : \[ 36p^{2} - 30pq + \frac{25q^2}{4} \] Ce qui se factorise en : \[ \left(6p - \frac{5q}{2}\right)^2 \] Cependant, si l’énoncé initial est correct, le polynôme ne peut pas être factorisé en un carré parfait avec les termes donnés.
Étape 1 : Identifier le carré du premier terme
Le premier terme \(49x^2\) peut être écrit comme le carré de \(7x\) : \[ 49x^2 = (7x)^2 \]
Étape 2 : Identifier le terme manquant
Pour un produit remarquable de la forme \((a + b)^2\), le deuxième terme doit être \(2ab\). Ici, \(a = 7x\).
On a : \[ 2ab = 28xy \Rightarrow 2 \times 7x \times b = 28xy \] \[ 14x \times b = 28xy \Rightarrow b = 2y \]
Étape 3 : Déterminer le monôme manquant
Le monôme manquant est \(4y^2\) car : \[ b^2 = (2y)^2 = 4y^2 \]
Étape 4 : Écrire le polynôme complet et le factoriser
Le polynôme complet est : \[ 49x^{2} + 28xy + 4y^2 \] Ce qui se factorise en : \[ (7x + 2y)^2 \]
Étape 1 : Identifier le carré du premier terme
Le premier terme \(16x^2\) peut être écrit comme le carré de \(4x\) : \[ 16x^2 = (4x)^2 \]
Étape 2 : Déterminer le terme manquant
Pour compléter le carré parfait, il faut ajouter le terme \(b^2\) où \(b\) est le terme à ajouter. Puisque seul le premier terme est donné, le terme manquant est \(8x \times b\).
Cependant, sans information supplémentaire, il n’est pas possible de déterminer exactement le terme manquant. Supposons que le polynôme doive être un carré parfait de la forme \((4x + b)^2\).
On a : \[ (4x + b)^2 = 16x^2 + 8x b + b^2 \] Le terme manquant pourrait être \(8x b + b^2\). Sans information supplémentaire sur la structure souhaitée, le terme spécifique ne peut être déterminé.
Conclusion :
L’exercice semble incomplet pour la partie (e). Veuillez vérifier l’énoncé pour fournir les termes nécessaires à la factorisation.