Question :
a) Développements et réductions : 1. \(x + 2\) 2. \(x^{2} + 4x + 4\) 3. \(x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8\) 4. \(x^{4} + 8x^{3} + 24x^{2} + 32x + 16\)
b) Résultat de \((x + 2)^{10}\) : \((x + 2)^{10}\)
Développez et réduisez les expressions suivantes :
Développement :
L’expression \((x + 2)\) est déjà développée. Il n’y a rien à simplifier.
Réponse :
\[ x + 2 \]
Développement étape par étape :
Pour développer \((x + 2)^{2}\), on utilise la formule du carré d’une somme :
\[ (a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \]
En remplaçant \(a\) par \(x\) et \(b\) par \(2\) :
\[ (x + 2)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} \]
Calcul :
\[ x^{2} + 4x + 4 \]
Réponse :
\[ x^{2} + 4x + 4 \]
Développement étape par étape :
Pour développer \((x + 2)^{3}\), on peut utiliser la formule du cube d’une somme :
\[ (a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} \]
En remplaçant \(a\) par \(x\) et \(b\) par \(2\) :
\[ (x + 2)^{3} = x^{3} + 3x^{2} \cdot 2 + 3x \cdot 2^{2} + 2^{3} \]
Calcul :
\[ x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8 \]
Réponse :
\[ x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8 \]
Développement étape par étape :
Pour développer \((x + 2)^{4}\), on utilise la formule suivante :
\[ (a + b)^{4} = a^{4} + 4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} + 4ab^{3} + b^{4} \]
En remplaçant \(a\) par \(x\) et \(b\) par \(2\) :
\[ (x + 2)^{4} = x^{4} + 4x^{3} \cdot 2 + 6x^{2} \cdot 2^{2} + 4x \cdot 2^{3} + 2^{4} \]
Calcul :
\[ x^{4} + 8x^{3} + 24x^{2} + 32x + 16 \]
Réponse :
\[ x^{4} + 8x^{3} + 24x^{2} + 32x + 16 \]
Pouvez-vous, sans développer les polynômes, déterminer le résultat de \((x + 2)^{10}\) ?
Réponse :
Oui, il est possible d’exprimer \((x + 2)^{10}\) sans développer le polynôme en utilisant la notation exponentielle. Ainsi, le résultat reste :
\[ (x + 2)^{10} \]
Explication :
Sans effectuer le développement complet, on reconnaît que \((x + 2)^{10}\) est une puissance de binôme. Si nécessaire, on pourrait utiliser le théorème du binôme pour développer cette expression, mais dans ce cas, il n’est pas nécessaire de procéder au développement pour exprimer le résultat.