Exercice 43

Question :

1. Considérez les égalités suivantes : \[2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 = 3^{3}\] \[7 \cdot 8 \cdot 9 + 8 = 8^{3}\] \[15 \cdot 16 \cdot 17 + 16 = 16^{3}\]

1. Écris trois égalités analogues à celles-ci et vérifie-les.

2. Prouve que ce type d’égalité est toujours vrai.

2. Faites de même pour ce type d’égalités : \[6^{2} - 5^{2} = 6 + 5\] \[14^{2} - 13^{2} = 14 + 13\] \[25^{2} - 24^{2} = 25 + 24\]

Réponse

Réponse courte :

1. Pour tout entier n, (n – 1) × n × (n + 1) + n = n³ car (n – 1)(n + 1) = n² – 1, donc n(n² – 1) + n = n³.

2. Pour tout entier n, (n + 1)² – n² = 2n + 1, qui s’écrit aussi (n + 1) + n.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chacune des parties de l’exercice en détaillant toutes les étapes pour bien comprendre le raisonnement.

────────────────────────────── PARTIE 1

Afin d’observer le schéma proposé, remarquons d’abord que dans chaque égalité on peut reconnaître trois nombres consécutifs dont le milieu est répété dans l’addition. Par exemple, pour la première égalité :   2 × 3 × 4 + 3 = 3³
Ici, les trois nombres consécutifs sont 2, 3, 4 et on ajoute 3 à leur produit. De même, dans les deux autres égalités, le nombre ajouté est le nombre central.

1. Exemples analogues

Nous pouvons remarquer que l’égalité générale que l’on souhaite obtenir a la forme suivante :
  (n – 1) × n × (n + 1) + n = n³
Nous allons choisir trois valeurs de n pour écrire des égalités analogues.

1. Pour n = 4
     (4 – 1) × 4 × (4 + 1) + 4
     = 3 × 4 × 5 + 4
     Premier calcul : 3 × 4 = 12, puis 12 × 5 = 60
     Ensuite, 60 + 4 = 64
     Or, 4³ = 4 × 4 × 4 = 64
     Conclusion : 3 × 4 × 5 + 4 = 4³

2. Pour n = 5
     (5 – 1) × 5 × (5 + 1) + 5
     = 4 × 5 × 6 + 5
     Calcul : 4 × 5 = 20, puis 20 × 6 = 120
     Ajout de 5 : 120 + 5 = 125
     Or, 5³ = 5 × 5 × 5 = 125
     Conclusion : 4 × 5 × 6 + 5 = 5³

3. Pour n = 10
     (10 – 1) × 10 × (10 + 1) + 10
     = 9 × 10 × 11 + 10
     Calculons : 9 × 10 = 90, puis 90 × 11 = 990
     Ajout de 10 : 990 + 10 = 1000
     Or, 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000
     Conclusion : 9 × 10 × 11 + 10 = 10³

2. Démonstration générale

Nous voulons montrer que, pour tout entier naturel n, l’égalité suivante est vraie :
  (n – 1) × n × (n + 1) + n = n³

Expliquons étape par étape :

1. Calcul du produit des trois nombres consécutifs :
     (n – 1) × n × (n + 1)
   On remarque que (n – 1)(n + 1) est une différence de deux carrés, c’est-à-dire :
     (n – 1)(n + 1) = n² – 1
   Ainsi, le produit devient :
     n × (n² – 1) = n³ – n

2. Ajout de n à ce résultat :
     (n³ – n) + n = n³ – n + n = n³

Ceci prouve que l’égalité est vraie pour tout entier n choisi.

────────────────────────────── PARTIE 2

Nous considérons maintenant les égalités de la forme :
  (a) 6² – 5² = 6 + 5
  (b) 14² – 13² = 14 + 13
  (c) 25² – 24² = 25 + 24

1. Exemples analogues

Ces égalités suivent un schéma général pour deux nombres consécutifs. Pour bien le voir, on rappelle la formule de la différence de deux carrés :   A² – B² = (A – B) × (A + B)

Ici, si nous posons A = n + 1 et B = n, alors :
  (n + 1)² – n² = [(n + 1) – n] × [(n + 1) + n]
  = 1 × (2n + 1)
  = 2n + 1
Mais remarquons que 2n + 1 s’écrit aussi (n + 1) + n.

Nous allons donner trois exemples supplémentaires en choisissant d’autres nombres consécutifs.

1. Pour n = 7
     (n + 1)² – n² = 8² – 7²
   Calculons chaque partie :
     8² = 64, 7² = 49
   Donc, 64 – 49 = 15
   D’autre part, (n + 1) + n = 8 + 7 = 15
   Conclusion : 8² – 7² = 8 + 7

2. Pour n = 10
     (n + 1)² – n² = 11² – 10²
   Calculons :
     11² = 121, 10² = 100
   Donc, 121 – 100 = 21
   Et (n + 1) + n = 11 + 10 = 21
   Conclusion : 11² – 10² = 11 + 10

3. Pour n = 15
     (n + 1)² – n² = 16² – 15²
   Calculons :
     16² = 256, 15² = 225
   Donc, 256 – 225 = 31
   Et (n + 1) + n = 16 + 15 = 31
   Conclusion : 16² – 15² = 16 + 15

2. Démonstration générale

Pour tout entier naturel n, nous voulons montrer que :   (n + 1)² – n² = (n + 1) + n

Démontrons-le étape par étape :

1. Calcul de (n + 1)² – n²
   Utilisons l’expansion de (n + 1)² :   (n + 1)² = n² + 2n + 1
   Donc,
     (n + 1)² – n² = (n² + 2n + 1) – n² = 2n + 1

2. Vérification de l’égalité :
   Le côté droit de l’égalité est (n + 1) + n = 2n + 1
   Ainsi, nous constatons que
     2n + 1 = 2n + 1

Ce qui montre que l’égalité est vraie pour tout entier n.

────────────────────────────── CONCLUSION

Nous avons ainsi établi deux types d’égalités :

1. Pour tout entier n,
     (n – 1) × n × (n + 1) + n = n³
   Exemples vérifiés pour n = 4, 5 et 10.

2. Pour tout entier n,
     (n + 1)² – n² = (n + 1) + n
   Exemples vérifiés pour n = 7, 10 et 15.

Chaque démonstration s’appuie sur l’utilisation de formules connues (différence de deux carrés et produit de trois nombres consécutifs) et une manipulation simple des expressions algébriques, permettant ainsi de comprendre et de justifier les égalités proposées.