Question : Factorise les polynômes suivants en te référant aux identités remarquables.
\(16 z^{2} + 24 z + 9\)
\(x^{2} - 10 x + 25\)
\(49 m^{2} - 28 m n + 4 n^{2}\)
\(36 k^{2} - 25 l^{2}\)
\(y^{2} - 4 y + 4\)
\(9 w^{4} - 16\)
\(16 z^{2} + 24 z + 9 = (4z + 3)^2\)
\(x^{2} - 10 x + 25 = (x - 5)^2\)
\(49 m^{2} - 28 m n + 4 n^{2} = (7m - 2n)^2\)
\(36 k^{2} - 25 l^{2} = (6k - 5l)(6k + 5l)\)
\(y^{2} - 4 y + 4 = (y - 2)^2\)
\(9 w^{4} - 16 = (3w^{2} - 4)(3w^{2} + 4)\)
Ces factorisations utilisent les identités remarquables telles que le carré d’une somme, le carré d’une différence et la différence de carrés.
Étape 1 : Identifier les termes carrés parfaits
Étape 2 : Vérifier si le trinôme est un carré parfait
Un trinôme de la forme \(a^2 + 2ab + b^2\) est égal à \((a + b)^2\).
Calculons \(2ab\) où \(a = 4z\) et \(b = 3\) :
\[ 2 \times 4z \times 3 = 24z \]
Cela correspond au terme du milieu \(24z\).
Étape 3 : Écrire la factorisation
Ainsi,
\[ 16 z^{2} + 24 z + 9 = (4z + 3)^{2} \]
Étape 1 : Identifier les termes carrés parfaits
Étape 2 : Vérifier si le trinôme est un carré parfait
Calculons \(2ab\) où \(a = x\) et \(b = 5\) :
\[ 2 \times x \times 5 = 10x \]
Cependant, le terme du milieu est \(-10x\), ce qui correspond à \(-2ab\).
Étape 3 : Écrire la factorisation
Ainsi,
\[ x^{2} - 10 x + 25 = (x - 5)^{2} \]
Étape 1 : Identifier les termes carrés parfaits
Étape 2 : Vérifier si le trinôme est un carré parfait
Calculons \(2ab\) où \(a = 7m\) et \(b = 2n\) :
\[ 2 \times 7m \times 2n = 28 m n \]
Comme le terme du milieu est \(-28 m n\), cela correspond à \(-2ab\).
Étape 3 : Écrire la factorisation
Ainsi,
\[ 49 m^{2} - 28 m n + 4 n^{2} = (7m - 2n)^{2} \]
Étape 1 : Identifier les termes carrés parfaits
Étape 2 : Reconnaître la différence de carrés
La différence de deux carrés s’écrit sous la forme \(a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)\).
Étape 3 : Appliquer la différence de carrés
Ainsi,
\[ 36 k^{2} - 25 l^{2} = (6k - 5l)(6k + 5l) \]
Étape 1 : Identifier les termes carrés parfaits
Étape 2 : Vérifier si le trinôme est un carré parfait
Calculons \(2ab\) où \(a = y\) et \(b = 2\) :
\[ 2 \times y \times 2 = 4y \]
Cependant, le terme du milieu est \(-4y\), ce qui correspond à \(-2ab\).
Étape 3 : Écrire la factorisation
Ainsi,
\[ y^{2} - 4 y + 4 = (y - 2)^{2} \]
Étape 1 : Identifier les termes carrés parfaits
Étape 2 : Reconnaître la différence de carrés
La différence de deux carrés s’écrit sous la forme \(a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)\).
Étape 3 : Appliquer la différence de carrés
Ainsi,
\[ 9 w^{4} - 16 = (3w^{2} - 4)(3w^{2} + 4) \]
Ces factorisations utilisent principalement les identités remarquables telles que le carré d’une somme, le carré d’une différence et la différence de carrés. En les reconnaissant, il devient plus simple de décomposer les polynômes en produits de binômes.